付立叶变换是从付立叶级数推演而来的，付立叶级数是所有周期函数（信号）都可以分解成一系列的正交的三角函数，这样，周期函数对应的付立叶级数即是它的频谱函数，也就是分离的谱线。而为了分析非周期函数，引入了谱密度的概念，即非周期信号的谱函数无穷小，但是谱密度有值。这样，将非周期信号看成是周期无限长的周期信号，并引入F(t)/T，即为非周期函数的谱密度函数。为了概念上的统一，引入了冲激函数的概念，这样，周期信号也可以有付立叶变换，其谱密度函数为冲激。

付立叶变换对于连续时间信号的分析具有重要作用，用于分析信号的频率分量，或将信号在频域上进行处理。引用频域概念后，通信与数学的结合就更加紧密了。通信的发展其实就是数学的发展。

至于离散付立叶变换，其实也是对数字信号变换到频域进行分析处理，它对数字信号处理的作用相当大。数字信号处理脱离了模拟时期对信号进行处理完全依赖于器件的境况，可以直接通过计算来进行信号处理。如数字滤波器，只是用系统的系数对进入的数字信号进行一定的计算，信号出系统后即得到处理后的数据在时域上的表达。

离散付立叶变换在理解上与连续信号的付立叶变换不太相同，主要是离散信号的付立叶变换汲及到周期延拓，以及圆周卷积等。

快速离散付叶变换其实是一种对付立叶变换的算法，它的出现解决了离散付立叶变换的计算量极大、不实用的问题，使付立叶变换的计算量降低了一个或几个数量级，从而使离散付立叶变换得到了广泛应用。另外，FFT的出现也解决了相当多的计算问题，使得其它计算也可以通过FFT来解决。


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意义 傅里叶变换具有惟一性.傅氏变换的性质揭示了信号的时域特性和频域特性之间的确定的内在联系.讨论傅里叶变换的性质,目的在于
了解特性的内在联系; 用性质求F(ω); 了解在通信系统领域中的应用.


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傅氏级数与傅氏变换

目前我们熟悉的是信号幅度随着时间变化而变化的常见表示方式，比如正弦信号的幅度随着时间按正弦函数的规律变化；另一方面，对于正弦信号，如果知道其振幅、频率和相位，则正弦信号的波形也惟一确定。根据这个原理和傅里叶级数理论，满足一定条件的周期信号都可以分解为不同频率的正弦分量的线性组合，从而我们用各个正弦分量的频率-幅度、频率-相位来表示周期信号的描述方式就称为周期信号的频谱表示，随着对信号研究的深入，我们将周期信号的频谱表示又推广到非周期信号的频谱表示，即通常的傅里叶变换。
对于周期信号，其频谱一般用傅里叶级数表示，而傅里叶级数的系数就称为信号的频谱.


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快速傅里叶变换

fast Fourier trans formation

　　进行有限离散傅里叶变换(DFT)的快速算法。简称FFT。一个复杂的波形可以分解为一系列谐波。针对这一物理现象，在数学上建立并发展了一套有效的研究方法，这就是傅里叶分析。利用电子计算机进行傅里叶分析，主要处理离散函数的傅里叶展开，也就是三角函数的插值问题 。一维DFT所作的工作主要是把一个N元数组A（i）（i＝0，1，…，N－1）通过一种线性变换变成另一个N元数组X（i）（i＝0 ，…N ，-1 ） 。如果直接计算全部数组元素大约需要进行 N2次的乘法和加法运算，当N很大时其计算量是很惊人的 。1965年美国人库利和图基提出一种能大幅度减少运算次数的快速算法，即FFT算法 ，它的基本原 理是将一个变换分解为两个变换的乘积，并利用三角函数的周期性质，将原先的变换公式重新组合为新的公式 ，从而把运算次数减少到 Nlog2N 的量级 。这就是说，FFT算法比DFT算法提高工效 N／log2N倍 ，例如N＝220时，约提高5万倍速度，可见当N很大时，这是一个了不起的提高。FFT技术在谱分析、数字滤波、结构分析 、系统分析、图像与信号处理，以及物探、天线、雷达、卫星 、医疗等众多技术领域已获得成功的应用。




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１．这些变换的实质都一样,都是将一个复杂信号在一正交系中进行分解,不同在于选择的基不同.付氏变换选择的是复指数与三角基，小波变换选择了其它的基．
２.信号在时域与频域具有对偶性.一个域的周期性与连续性对应于另一个域的与非周期，比如对于周期性信号连续信号，具绝对可积条件时，在可以进行级数展开，得到了离散的非周期频谱．
３．ＤＦＴ，ＤＴＦＴ，ＤＦＳ，ＦＦＴ的联系与区别
ＤＦＴ与ＦＦＴ是一个本质，ＦＦＴ是ＤＦＴ的一种算法．
ＤＦＳ是discrete fourier seriers,对离散周期信号进行级数展开.DFT是将DFS取主值,DFS是DFT的周期延拓.
DTFT是对Discrete time fourier transformation,是对序列的FT,得到连续的周期谱,而DFT,FFT得到是有限长的非周期离散谱,不是一个.


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傅立叶级数是周期信号的另一种时域的表达方式，也就是正交的级数，它不同频率的波形的叠加。
而傅立叶变换就是完全的频域分析