模2运算是一种二进制算法，CRC校验技术中的核心部分，因此，我们在分析CRC算法之前，必须掌握模2运算的规则。与四则运算相同，模2运算也包括模2加、模2减、模2乘、模2除四种二进制运算。而且，模2运算也使用与四则运算相同的运算符，即“＋”表示模2加，“－”表示模2减，“×”或“·”表示模2乘，“÷”或“/”表示模2除。与四则运算不同的是模2运算不考虑进位和借位，即模2加法是不带进位的二进制加法运算，模2减法是不带借位的二进制减法运算。这样，两个二进制位相运算时，这两个位的值就能确定运算结果，不受前一次运算的影响，也不对下一次造成影响。 ①模2加法运算定义为：
0＋0＝0 0＋1＝1 1＋0＝1 1＋1＝0
例如0101＋0011＝0110，列竖式计算：
0 1 0 1
＋0 0 1 1
──────
0 1 1 0 ②模2减法运算定义为：
0－0＝0 0－1＝1 1－0＝1 1－1＝0
例如0110－0011＝0101，列竖式计算：
0 1 1 0
－0 0 1 1
──────
0 1 0 1 ③模2乘法运算定义为：
0×0＝0 0×1＝0 1×0＝0 1×1＝1
多位二进制模2乘法类似于普通意义上的多位二进制乘法，不同之处在于后者累加中间结果（或称部分积）时采用带进位的加法，而模2乘法对中间结果的处理方式采用的是模2加法。例如1011×101＝100111，列竖式计算：
1 0 1 1
× 1 0 1
──────
1 0 1 1
0 0 0 0
＋1 0 1 1
────────
1 0 0 1 1 1 ④模2除法运算定义为：
0÷1＝0 1÷1＝1
多位二进制模2除法也类似于普通意义上的多位二进制除法，但是在如何确定商的问题上两者采用不同的规则。后者按带借位的二进制减法，根 据余数减除数够减与否确定商1还是商0，若够减则商1，否则商0。多位模2除法采用模2减法，不带借位的二进制减法，因此考虑余数够减除数与否是没有意义 的。实际上，在CRC运算中，总能保证除数的首位为1，则模2除法运算的商是由余数首位与除数首位的模2除法运算结果确定。因为除数首位总是1，按照模2 除法运算法则，那么余数首位是1就商1，是0就商0。例如1100100÷1011＝1110……110，列竖式计算：
2.2.3 溢出概念与检测方法 在定点小数机器中，数的表示范围为|ｘ|<1. 在运算过程中如出现大于1的现象，称为“溢出”。在定点机中，正常情况下溢出是不允许的。 [例12] ｘ＝＋0.1011， ｙ＝＋0.1001，求ｘ＋ｙ。 [解:] [ｘ]补＝0.1011 [ｙ]补＝0.1001 [ｘ]补　　　 0.1011

＋[ｙ]补　 　 0.1001

[ｘ＋ｙ]补　　1.0100 两个正数相加的结果成为负数，这显然是错误的。 [例13] ｘ＝－0.1101， ｙ＝－0.1011，求ｘ＋ｙ。 [解:] [ｘ]补＝1.0011 [ｙ]补＝1.0101 [ｘ]补　　　 1.0011

＋[ｙ]补 　 1.0101

[ｘ＋ｙ]补　 0.1000 两个负数相加的结果成为正数，这同样是错误的。 之所以发生错误，是因为运算结果产生了溢出。两个正数相加，结果大于机器所能表示的最大正数，称为上溢。而两个负数相加，结果小于机器所能表示的最小负数，称为下溢。 为了判断“溢出”是否发生，可采用两种检测的方法。第一种方法是采用双符号位法，这称为“变形补码”或“模4补码”，从而可使模2补码所能表示的数的范围扩大一倍。变形补码定义为 (2.22) 或用同余式表示为 [ｘ]补＝4＋ｘ　　　(mod 4) 下式也同样成立： [ｘ]补＋[ｙ]补＝[ｘ＋ｙ]补 (mod 4) 为了得到两数变形补码之和等于两数之和的变形补码，同样必须：

1. 两个符号位都看作数码一样参加运算
2. 两数进行以4位模的加法，即最高符号位上产生的进位要丢掉。

采用变形补码后，如果两个数相加后，其结果的符号位出现“01”或“10”两种组合时，表示发生溢出。这是因为两个绝对值小于1的数相加，其结果不会大于或等于2，所以最高符号位永远表示结果的正确符号。 [例14] ｘ＝＋0.1100， ｙ＝＋0.1000，求ｘ＋ｙ。 [解:] [ｘ]补＝00.1100，　[ｙ]补＝00.1000 [ｘ]补　　　00.1100

＋[ｙ]补　　00.1000

01.0100 两个符号位出现“01”，表示已溢出，即结果大于＋1。 [例15] ｘ＝－0.1100， ｙ＝-0.1000，求ｘ＋ｙ。 [解:] [ｘ]补＝11.0100，　[ｙ]补＝11.1000 [ｘ]补　　　11.0100

＋[ｙ]补　　11.1000

10.1100 两个符号位出现“10”，表示已溢出，即结果小于－1。 由此可以得出如下结论：

1. 当以模4补码运算，运算结果的二符号位相异时，表示溢出；相同时，表示未溢出。故溢出逻辑表达式为V＝Sf1⊕Sf2，其中Sf1和Sf2分别为最高符号位和第二符号位。此逻辑表达式可用异或门实现。
2. 模4补码相加的结果，不论溢出与否，最高符号位始终指示正确的符号。

第二种溢出检测方法是采用单符号位法。从例1和例2中看到，当最高有效位产生进位而符号位无进位时，产生上溢；当最高有效位无进位而符号位有进位时，产生下溢。故溢出逻辑表达式为V＝Cf⊕Co，其中Cf为符号位产生的进位，Co为最高有效位产生的进位。此逻辑表达式也可用异或门实现。 在定点机中当运算结果发生溢出时，机器通过逻辑电路自动检查出溢出，并进行中断处理。