深入浅出CRC——模2运算

2019-04-13 11:50发布

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主题词：CRC算法原理；CRC校验；模2运算（模二运算）；mod 2运算

CRC校验算法采用一种称为“模2运算”的二进制运算法则。模2运算是CRC运算的核心部分，因此，在分析CRC算法前，应先了解一下模2运算。

与四则运算相同，模2运算也包括模2加、模2减、模2乘、模2除四种二进制运算。而且，模2运算也使用与四则运算相同的运算符，即“＋”表示模2加，“－”表示模2减，“×”或“·”表示模2乘，“÷”或“/”表示模2除。与四则运算不同的是模2运算不考虑进位和借位，即模2加法是不带进位的二进制加法运算，模2减法是不带借位的二进制减法运算。这样，两个二进制位相运算时，这两个位的值就能确定运算结果，不受前一次运算的影响，也不对下一次造成影响。

①模2加法运算定义为：
0＋0＝0        0＋1＝1        1＋0＝1        1＋1＝0
例如0101＋0011＝0110，列竖式计算：
   0 1 0 1
＋ 0 0 1 1
──────
   0 1 1 0
②模2减法运算定义为：
0－0＝0        0－1＝1        1－0＝1        1－1＝0
例如0110－0011＝0101，列竖式计算：
   0 1 1 0
－  0 0 1 1
──────
   0 1 0 1
③模2乘法运算定义为：
0×0＝0        0×1＝0        1×0＝0        1×1＝1
多位二进制模2乘法类似于普通意义上的多位二进制乘法，不同之处在于后者累加中间结果（或称部分积）时采用带进位的加法，而模2乘法对中间结果的处理方式采用的是模2加法。例如1011×101＝100111，列竖式计算：
       1 0 1 1
     ×  1 0 1
    ──────
            1 0 1 1
     0 0 0 0
＋ 1 0 1 1
────────
   1 0 0 1 1 1
④模2除法运算定义为：
0÷1＝0        1÷1＝1
多位二进制模2除法也类似于普通意义上的多位二进制除法，但是在如何确定商的问题上两者采用不同的规则。后者按带借位的二进制减法，根据余数减除数够减与否确定商1还是商0，若够减则商1，否则商0。多位模2除法采用模2减法，不带借位的二进制减法，因此考虑余数够减除数与否是没有意义的。实际上，在CRC运算中，总能保证除数的首位为1，则模2除法运算的商是由余数首位与除数首位的模2除法运算结果确定。因为除数首位总是1，按照模2除法运算法则，那么余数首位是1就商1，是0就商0。例如1100100÷1011＝1110……110，列竖式计算：
               1 1 1 0
       ────────
1 0 1 1〕1 1 0 0 1 0 0
      － 1 0 1 1
      ──────
           1 1 1 1
        － 1 0 1 1
       ──────
             1 0 0 0
          － 1 0 1 1
         ──────
               0 1 1 0
            － 0 0 0 0
           ──────
                 1 1 0
小结：通过对比我们不难发现，模2加与模2减两种运算与逻辑异或运算其运算法则完全相同，另外，模2乘除法都以模2加减法为基础，因此我们可以把模2运算看作简单的异或运算。实际上，CRC除法器就是由异或门以及时序电路构成的。

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