前两天做了一道题是关于模运算的。模就是我们常说的取余。例如4 % 6 = 4,6 % 4 = 2。模运算的运算规则和四则运算类似。但是除法除外，有关这一点我们在后面会详细讲。
首先我们先介绍一下模运算的运算规则： (a + b) % p = (a % p + b % p) % p
(a - b) % p = (a % p - b % p) % p
(a * b) % p = (a % p * b % p) % p
(a ^ b) % p = ((a % p) ^ b ) % p
模运算的结合律：
((a + b) % p + c) % p= (a + (b + c) % p) % p
((a * b) % p * c) % p = (a * (b * c) % p ) % p
交换律：
(a + b) % p = (b+a) % p
(a * b) % p = (b * a) % p
分配率：
((a +b) % p * c) % p = ((a * c) % p + (b * c) % p) % p
上文我们可以看出，除了除法之外模运算的运算规则和四则运算类似。关于模运算的除法运算我们需要了解一个概念叫逆元。
逆元是指指数学领域群G中任意一个元a，都在G中有唯一的逆元a‘,具有性质a×a'=a'×a=e，其中e为该群的单位元。在模运算中，单位元便是1。举个例子，求4关于7的乘法逆元，就是求一个数x,使4 * x % 7 = 1。下面我们来介绍求取逆元的算法：
第一种方法是循环求解法：给定模m和数x，在1 ~ m – 1中检查是否有x * i mod m = 1。
第二种方法是扩展欧几里得算法。欧几里得算法的依据是最大公约数定理：对任意的非负整数a和任意正整数b，gcd(a,b) = gcd(b,a mod b).
扩展欧几里得算法为：
Extend-Ecuclid(a,b): If b == 0: Then return(a,1,0) (d1,x1,y1) = Extend-Ecuclid(b,a mod b) (d,x,y) = (d,y1,x1-[a / b] * y1) Return (d,x,y) 这里x是a的系数，y是b的系数。
在求a * x mod m = 1时，就是求a * x + m * y = 1的过程。那么我们需要的就是a的系数x。因此可以用欧几里得算法求解。欧几里得算法的C++过程为： void ext_gcd(int a,int b,int &d,int &x,int &y){ if (b==0){ d=a;x=1;y=0; return; } ext_gcd(b,a%b,d,y,x); y-=a/b*x; } int main(){ scanf("%d%d",&m,&n); ext_gcd(m,n,d,x,y); printf("%d ",(x+n)%n); return 0; }