以模6加法群（Z6，+）认识循环群及其特点

2019-04-13 11:58发布

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 刚开始接触循环群不容易理解，不妨以模6加法群入手，来认识循环群的特点。 首先，循环群，顾名思义，cycle group即带有循环的意思。怎么个循环法呢？ 我们看中的元素{0,1,2,3,4,5}。取其中的元素1，不停地对自身进行模6加法，即对本身进行幂运算。 可得： 1^1=1 1^2=1+1=2 1^3=1+1+1=3 1^4=1+1+1+1=4 1^5=1+1+1+1+1=5 1^6=1+1+1+1+1+1=0（模6加法意义下） 1^7=1+1+1+1+1+1+1=1（模6加法意义下） …… 如上对1不断幂运算，可见两个现象： 1、可以遍历所有的元素，也可以说，我们仅用元素1就能生成所有的元素，这就是循环群里的生成元的概念。 2、幂运算的结果就是123450123450123450这样不断的循环，这就是循环群名字由来。 现在有了感性认识，可以对循环群用准确的数学语言定义，就是： 若存在a∈G使得G=,则称G是循环群，称a为G的生成元。 现在，我们继续思考，如果对其它元素进行不断的幂运算呢，会出现什么结果？ 经过不断的幂运算，我们发现 元素0形成的结果只有0，可写成，结果集合为{0}， 元素2、4形成的结果是一样的，结果集合为{0,2,4}， 元素3形成的结果集合为{0,3}， 元素1、5形成的结果为{0,1,2,3,4,5}， 可见，不同的元素，有的形成的结果不同，有的却相同。我们可以按照他们生成的结果来将他们划分为不同的群体。 对于元素1、5，他们都能生成所有元素，所以他们两个元素不仅证明了这个群是循环群，还说明他们都是循环群的生成元。 他们生成了{0,1,2,3,4,5}这个子群（或者说群本身，也叫平凡子群）并且他们都是6阶元素，所谓6阶，就是a^6=e=0(幺元，或称单位元，这个群的单位元是0)。6阶也是这个群的阶数。 对于元素2、4，他们生成了子群{0,2,4}，他们都是3阶元素。 对于元素3，生成了子群{0,3}，他是2阶元素。 对于元素0，生成了子群{0}，他是1阶元素。 通过对上面的观察，我们又看出一些规律，就是： 1、n阶元素生成的子群中具有n个元素 2、一个n阶群，他具有p个不同类型的生成子群，p是n的正因子个数，比如本例中6的正因子有1,2,3,6共四个。 3、一个n阶群，他的生成元个数是与小于n且与n互为素数的个数。本例中，小于6且与6互素的数是1、5，共两个，所以这个群的生成元就正好2个。 以上规律均可证明，有兴趣可以自己进行证明，深入学习。

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