补码与模的概念

摘自http://blog.csdn.net/jq_ak47/article/details/45338061

模的概念：把一个计量单位称之为模或模数。例如，时钟是以12进制进行计数循环的，即以12为模。 
在时钟上，时针加上（正拨）12的整数位或减去（反拨）12的整数位，时针的位置不变。14点钟在舍去模12后，成为（下午）2点钟（14=14-12=2）。从0点出发逆时针拨10格即减去10小时，也可看成从0点出发顺时针拨2格（加上2小时），即2点（0-10=-10=-10+12=2）。因此，在模12的前提下，-10可映射为+2。由此可见，对于一个模数为12的循环系统来说，加2和减10的效果是一样的；因此，在以12为模的系统中，凡是减10的运算都可以用加2来代替，这就把减法问题转化成加法问题了（注：计算机的硬件结构中只有加法器，所以大部分的运算都必须最终转换为加法）。10和2对模12而言互为补数。同理，计算机的运算部件与寄存器都有一定字长的限制（假设字长为16），因此它的运算也是一种模运算。当计数器计满16位也就是65536个数后会产生溢出，又从头开始计数。产生溢出的量就是计数器的模，显然，16位二进制数，它的模数为2^16=65536。在计算中，两个互补的数称为“补码”。比如一个有符号8位的数可以表示256个数据，最大数是0 1 1 1 1 1 1 1（+127），最小数1 0 0 0 0 0 0 0 （-128）；那么第255个数据，加2和减254都是一样的效果得出的结果是第一个数据 ，所以2和254是一样的效果。对于255来说2和254是互补的数。 
求一个正数对应补码是一种数值的转换方法，要分二步完成： 
第一步，每一个二进制位都取相反值，即取得反码；0变成1，1变成0。比如，00001000的反码就是11110111。 
第二步，将上一步得到的反码加1。11110111就变成11111000。所以，00001000的二进制补码就是11111000。也就是说，-8在计算机（8位机）中就是用11111000表示。 
不知道你怎么看，反正我觉得很奇怪，为什么要采用这么麻烦的方式表示负数，更直觉的方式难道不好吗？ 二进制的补码就是最方便的方式。它的便利体现在，所有的加法运算可以使用同一种电路完成。 
还是以-8作为例子。假定有两种表示方法。一种是直觉表示法，即10001000；另一种是2的补码表示法，即11111000。请问哪一种表示法在加法运算中更方便？随便写一个计算式，16 + (-8) = ?16的二进制表示是 00010000，所以用直觉表示法，加法就要写成： 
　０００１００００ 
＋１０００１０００原码形式-8 
－－－－－－－－－ 
　１００１１０００ 
可以看到，如果按照正常的加法规则，就会得到10011000的结果，转成十进制就是-24。显然，这是错误的答案。也就是说，在这种情况下，正常的加法规则不适用于正数与负数的加法，因此必须制定两套运算规则，一套用于正数加正数，还有一套用于正数加负数。从电路上说，就是必须为加法运算做两种电路。所以用原码表示负数是不行的。 
现在，再来看二进制的补码表示法。 
　０００１００００ 
＋１１１１１０００补码形式-8 
－－－－－－－－－ 
１００００１０００ 
可以看到，按照正常的加法规则，得到的结果是100001000。注意，这是一个9位的二进制数。我们已经假定这是一台8位机，因此最高的第9位是一个溢出位，会被自动舍去。所以，结果就变成了00001000，转成十进制正好是8，也就是16 + (-8) 的正确答案。这说明了，2的补码表示法可以将加法运算规则，扩展到整个整数集，从而用一套电路就可以实现全部整数的加法。

二进制补码的本质，本质是用来表示负整数的

在回答二进制补码为什么能正确实现加法运算之前，我们先看看它的本质，也就是那两个求补码步骤的转换方法是怎么来的。下面描述了一个正数怎么求它对应负数在计算机的表达方式。比如128，正数为10000000，但是惊奇的发现-128也是10000000。但是这里由于属于数据类型的限定，第八位同样一个1代表不同的含义，前面的 1是数值位，后面数的 1是符号位。 
要将正数转成对应的负数，其实只要用0减去这个数就可以了。比如，-8其实就是0-8。用模数的概念解释如下图 
 
已知8的二进制是00001000，-8就可以用下面的式子求出： 
　００００００００ 
－００００１０００ 
－－－－－－－－－- - - - 
因为00000000（被减数）小于0000100（减数），所以不够减。请回忆一下小学算术，如果被减数的某一位小于减数，我们怎么办？很简单，问上一位借1就可以了。 
所以，0000000也问上一位借了1，也就是说，被减数其实是100000000，这是重点；算式也就改写成： 
１００００００００ 
－００００１０００ 
－－－－－－－－－- - - 
　１１１１１０００ 
进一步观察，可以发现可分拆为100000000 = 11111111 + 1，所以上面的式子可以拆成两个： 
１１１１１１１１ 
－００００１０００ 
－－－－－－－－－ 
　１１１１０１１１取反 
＋０００００００１加一 
－－－－－－－－－ 
　１１１１１０００ 
二进制的补码两个转换步骤就是这么来的。 
举个例子，比如-128补码的由来，先把正整数128二进制表示出来10000000求-128的补码 
1 1 1 1 1 1 1 1 
-1 0 0 0 0 0 0 0 
－－－－－－－－－ 
0 1 1 1 1 1 1 1 
+0 0 0 0 0 0 0 1 
－－－－－－－－－ 
1 0 0 0 0 0 0 0 
即-128的补码是10000000。8位的结构能表示的最小数是-128； 
所以可以总结求补码的范式是这样的： 
求n位系统的一个数正数A : 01101101101……….11101100（n位二进制），怎么求他的补码呢，就用n位的1111111111111111111…..111(n位) - 11101101101……….11101100（n位二进制） + 1 = A的补码就行啦！但是 
如果一个1111111111111…..111111(n位全为1的正整数的补码)，要用1111111111111…….11111(n+1位) - 1111111111111…..111111(n位全为1的正整数) +1 才能求的她对应的补码。 
如uint16 A =200, uint16 B =65535,那么C =A-B; 
65535的补码：正数65535为1111 1111 1111 1111，进行下面的计算求得B的补码即-B；先展示有补码符号位，即补码有最高位位1的； 
1 1111 1111 1111 1111 -1111 1111 1111 1111 +1 =1 0000 0000 0000 0001,相当于被减数是10 0000 0000 0000 0000（18位） =1 1111 1111 1111 1111 +1 
因为A和B 都是16位的无符号数，所以65535的补码最高位舍去，相当于被减数是1 0000 0000 0000 0000 =1111 1111 1111 1111 +1，即可以用上面的范式方法，但是这样-B就没有体现它的负数的符号位了；当然这是因为16位运算超出16位的位都舍去了。即-B=1;即A-B= 200+1 =201。其实也可以用模数概念解释A -B；如下图正数的模数 

为什么正数加法也适用于二进制的补码？

实际上，我们要证明的是，X-Y或X+(-Y)可以用X加上Y的2的补码(-Y)完成。 
Y的二进制补码等于(11111111-Y)+1。所以，X加上Y的2的补码，就等于：X + (11111111-Y) + 1；我们假定这个算式的结果等于Z，即 Z = X + (11111111-Y) + 1。 
接下来，分成两种情况讨论。 
第一种情况，如果X小于Y，那么Z是一个负数。这时，我们就对Z采用补码的逆运算，就是在做一次求补码运算，求出它对应的正数绝对值，只要前面加上负号就行了。所以， 
Z = -[11111111-Z+1] = -[11111111-(X + (11111111-Y) + 1)+1)] = X - Y;这里如果X Y Z都是无符号型的，且X < Y 那么Z 最终得到的数是|X-Y|距离的绝对值了，比如X=1,Y= 255,那么Z=2,因为从255到1只要加两次就到了。这里你不要问我为什么，这里就用到上面的模概念。 
第二种情况，如果X大于Y，这意味着Z肯定大于11111111，但是我们规定了这是8位机，最高的第9位是溢出位，必须被舍去，舍去相当于减去吗！所以减去100000000。所以， 
Z = Z - 100000000 = X + (11111111-Y) + 1 - 100000000 = X - Y 
这就证明了，在正常的加法规则下，可以利用2的补码得到正数与负数相加的正确结果。换言之，计算机只要部署加法电路和补码电路，就可以完成所有整数的加法。