模运算与同余公式的性质

2019-04-13 12:21发布

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       所谓的同余，顾名思义，就是许多的数被一个数d去除，有相同的余数。d数学上的称谓为模。如a=6,b=1,d=5,则我们说a和b是模d同余的。因为他们都有相同的余数1。
       数学上的记法为：
       a≡ b(mod d)
       可以看出当n 对于同余有三种说法都是等价的,分别为:
       (1) a和b是模d同余的.
       (2) 存在某个整数n,使得a=b+nd .
       (3) d整除a-b.
       可以通过换算得出上面三个说法都是正确而且是等价的.
       基本定律：
       同余公式也有许多我们常见的定律,比如相等律,结合律,交换律,传递律….如下面的表示:
       1)a≡a(mod d)
       2)对称性 a≡b(mod d)→b≡a(mod d)
       3)传递性 (a≡b(mod d),b≡c(mod d))→a≡c(mod d)
       如果a≡x(mod d),b≡m(mod d),则
           4)a+b≡x+m （mod d）
           5)a-b≡x-m (mod d)
           6)a*b≡x*m (mod d )
           7)a/b≡x/m （mod d）
       8）a≡b（mod d）则a-b整除d
       9）a≡b（mod d）则a^n≡b^n(mod d)
      10)如果ac≡bc(mod m)，且c和m互质，则a≡b(mod m）
      模运算的运算规则：       (a + b)  mod  p = (a  mod  p + b  mod  p)  mod  p            （1）
      (a - b)  mod  p = (a  mod  p - b  mod  p)  mod  p              （2） 
      (a * b)  mod  p = (a  mod  p * b  mod  p)  mod  p              （3）
      a^b  mod  p = ((a  mod  p)^b)  mod  p                              （4）
      结合率： ((a+b)  mod  p + c)  mod  p = (a + (b+c)  mod  p)  mod  p （5）
                     ((a*b)  mod  p * c) mod  p = (a * (b*c)  mod  p)  mod  p     （6）
      交换率： (a + b)  mod  p = (b+a)  mod  p                 （7）
                     (a * b)  mod  p = (b * a)  mod  p                 （8）
      分配率： ((a +b) mod  p * c)  mod  p = ((a * c)  mod  p + (b * c)  mod  p)  mod  p （9）
      重要定理：若a≡b ( mod  p)，则对于任意的c，都有(a + c) ≡ (b + c) ( mod p)；（10）
                        若a≡b ( mod  p)，则对于任意的c，都有(a * c) ≡ (b * c) ( mod p)；（11）
                        若a≡b ( mod  p)，则对于任意的c，都有ac≡ bc ( mod p)；     （13）
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