例行广告，推广一下我的博客http://zwgeek.com 这篇文章为大家梳理一下整个蒙哥马利算法的本质，蒙哥马利算法并不是一个独立的算法，而是三个相互独立又相互联系的算法集合，其中包括

• 蒙哥马利乘模，是用来计算x⋅y (mod N)
• 蒙哥马利约减，是用来计算t⋅ρ−1 (mod N)
• 蒙哥马利幂模，是用来计算xy (mod N)

其中蒙哥马利幂乘是RSA加密算法的核心部分。

基本概念

梳理几个概念，试想一个集合是整数模N之后得到的
ZN={0,1,2,⋯,N−1} 注：N在base-b进制下有lN位。 比如10进制和100进制，都属于base-10进制，因为100=102，所以b=10。在10进制下，667的lN=3 这样的集合叫做N的剩余类环，任何属于这个集合Z的x满足以下两个条件：
1. 正整数
2. 最大长度是lN 这篇文章中讲到的蒙哥马利算法就是用来计算基于ZN集合上的运算，简单讲一下原因，因为RSA是基于大数运算的，通常是1024bit或2018bit，而我们的计算机不可能存储完整的大数，因为占空间太大，而且也没必要。因此，这种基于大数运算的加密体系在计算的时候都是基于ZN集合的，自然，蒙哥马利算法也是基于ZN。 在剩余类环上，有两种重要的运算，一类是简单运算，也就是加法和减法，另一类复杂运算，也就是乘法。我们比较熟悉的是自然数集上的运算，下面看下怎么从自然数集的运算演变成剩余类环上的运算。 对于加法运算，如果计算x±y (mod N) (0⩽x,y<N)，试想自然数集上的 x±y 0⩽x+y⩽2⋅(N−1) −(N−1)⩽x−y⩽(N−1) 我们可以简单的通过加减N来实现从自然数到剩余类集的转换 另外一类是乘法操作，也就是x⋅y (mod N)(0⩽x,y<N)，那么 0⩽x⋅y⩽(N−1)2 如果在自然数集下，令t=x⋅y，那么对于modN我们需要计算 t−（N⋅⌊tN⌋） 加减操作很简单，具体的算这里就不细说了，我们用ZN−ADD 来代表剩余类环上的加法操作。既然我们可以做加法操作，那么我们就可以扩展到乘法操作，算法如下 但是这并不是一个好的解决方案，因为通常来说，我们不会直接做w位乘w位的操作，这个后面会用蒙哥马利的乘法来代替解决。 对于取模操作，一般有以下几种方法 1，根据以下公式，来计算取模操作 t−（N⋅⌊tN⌋） 这种解法有以下特征

• 整个计算过程是基于标准的数字表示
• 不需要预计算（也就是提前计算一些变量，以备使用）
• 涉及到一个除法操作，非常费时和复杂

2，用Barrett reduction算法，这篇文章不细说，但是有以下特征

• 基于标准的数字表示
• 不需要预计算
• 需要2⋅(lN+1)⋅(lN+1) 次数乘运算

3，用蒙哥马利约减，也就是下面要讲的算法，有以下特征

• 不是基于标准的数字表示（后文中有提到，是基于蒙哥马利表示法）
• 需要预计算
• 需要2⋅(lN)⋅(lN) 次数乘运算

蒙哥马利预备知识

在将蒙哥马利算法之前，先看一下在自然数下的乘法公式 计算x⋅y，想象一下我们常用的计算乘法的方法，用乘数的每一位乘上被乘数，然后把得到的结果相加，总结成公式，可以写成如下的形式。 x⋅y=x⋅sumly−1i=0