一、除法取模逆元 在算法设计中，常会遇到求 a/b mod m的计算，当a很大，或者b很大，使得a/b的值无法直接计算的时候，通常采用逆元的方法，化除法为乘法。（逆元的概念在离散数学中 有学习） a/b mod m 等价计算为 a*k mod m (k是b的模m乘法逆元) 证明过程： 由于k是b的模m乘法逆元。 即 b*k mod m == 1 b*k = xm + 1 k = (xm+1) / b 则 a * k mod m = a * (xm + 1) / b mod m  = a/b * (xm + 1) mod m  = xa/b * m mod m + a / b mod m  = a / b mod m 所以以上两式等价。 二、扩展欧几里得 欧几里得定理， gcd（a, b）用来求a，b的最大公约数。 gcd(a, b) = gcd(b, a%b) = gcd 扩展欧几里得定理: 对于不完全为 0 的非负整数 a，b，gcd（a，b）表示 a，b 的最大公约数，必然存在整数对 x，y ，使得 gcd（a，b）=ax+by。 c++描述： void exgcd(int a, int b, int &x, int &y) { if(0 == b){ x = 1, y = 0; return ; } exgcd(b, a%b, x, y); int flag = x; x = y; y = flag - a/b * y; }
通过扩展欧几里得定理，可以求出b的模m乘法逆元。 由于 b*k mod m == 1 所以 b*k + m*n == 1 即求解方程中的k即可得到逆元 即函数中的x就是其逆元。 三、费马小定理 假如p是质数，且gcd(a,p)=1，那么 a(p-1)≡1（mod p） 如果求解 a / b mod m 求 b 的模m乘法逆元，若b ， m互质 则 k* b mod m = 1 且 b ^ (m-1) mod m = 1 所以 k* b = b ^ (m-1) 可直接得出b的模m乘法逆元为 b ^ (m-2) 在算法中常模1e9+7为质数，可用费马小定理转换。