给定一个正整数p，任意一个整数n，一定存在等式 ：n = kp + r ；其中 k、r 是整数，且 0 ≤ r < p，则称 k 为 n 除以 p 的商，r 为 n 除以 p 的余数。对于正整数 p 和整数 a,b，定义如下运算：取模运算：a % p（或a mod p），表示a除以p的余数。模p加法： ，其结果是a+b算术和除以p的余数。模p减法： ，其结果是a-b算术差除以p的余数。模p乘法： ，其结果是 a * b算术乘法除以p的余数。说明：1. 同余式：正整数a，b对p取模，它们的余数相同，记做 或者a ≡ b (mod p)。2. n % p 得到结果的正负由被除数n决定,与p无关。例如：7%4 = 3， -7%4 = -3， 7%-4 = 3， -7%-4 = -3

基本性质

1. 若p|(a-b)，则a≡b (% p)。例如 11 ≡ 4 (% 7)， 18 ≡ 4(% 7)
2. (a % p)=(b % p)意味a≡b (% p)
3. 对称性：a≡b (% p)等价于b≡a (% p)
4. 传递性：若a≡b (% p)且b≡c (% p) ，则a≡c (% p)

运算规则

模运算与基本四则运算有些相似，但是除法例外。其规则如下：

1. (a + b) % p = (a % p + b % p) % p （1）
2. (a - b) % p = (a % p - b % p) % p （2）
3. (a * b) % p = (a % p * b % p) % p （3）
4. a ^ b % p = ((a % p)^b) % p （4）

• 结合律：((a+b) % p + c) % p = (a + (b+c) % p) % p （5）

((a*b) % p * c)% p = (a * (b*c) % p) % p （6）

• 交换律：(a + b) % p = (b+a) % p （7）

(a * b) % p = (b * a) % p （8）

• 分配律：((a +b)% p * c) % p = ((a * c) % p + (b * c) % p) % p （9）

重要定理

• 若a≡b (% p)，则对于任意的c，都有(a + c) ≡ (b + c) (%p)；（10）
• 若a≡b (% p)，则对于任意的c，都有(a * c) ≡ (b * c) (%p)；（11）
• 若a≡b (% p)，c≡d (% p)，则 (a + c) ≡ (b + d) (%p)，(a - c) ≡ (b - d) (%p)，(a * c) ≡ (b * d) (%p)，(a / c) ≡ (b / d) (%p)； （12）