除法取模与逆元/费马小定理

2019-04-13 12:44发布

对于正整数,如果有,那么把这个同余方程中的最小正整数解叫做的逆元。
逆元一般用扩展欧几里得算法来求得,如果为素数,那么还可以根据费马小定理得到逆元为。(都要求a和m互质)
推导过程如下(摘自Acdreamer博客) 这个为费马小定理,m为素数是费马小定理的前置条件。
求a/b=x(mod M) 只要M是一个素数,而且b不是M的倍数,就可以用一个逆元整数b1,通过 a/b=a*b1 (mod M),只能来以乘换除。
费马小定理:对于素数 M 任意不是 M 的倍数的 b,都有:b ^ (M-1) = 1 (mod M)
于是可以拆成:b*b^(M-2)=1(mod M)
于是:a/b=a/b*(b * b ^ (M-2))=a*(b ^ (M-2)) (mod M)
求a/b=x(mod M) 用扩展欧几里德算法算出b1,然后计算a*b1(mod M) exgcd(b,M,x,y);   b1=x;
当p是个质数的时候有
inv(a) = (p - p / a) * inv(p % a) % p 证明: 设x = p % a,y = p / a
于是有 x + y * a = p
(x + y * a) % p = 0
移项得 x % p = (-y) * a % p
x * inv(a) % p = (-y) % p
inv(a) = (p - y) * inv(x) % p
于是 inv(a) = (p - p / a) * inv(p % a) % p
然后一直递归到1为止,因为1的逆元就是1#include typedef long long LL; LL inv(LL t, LL p) {//求t关于p的逆元,注意:t要小于p,最好传参前先把t%p一下 return t == 1 ? 1 : (p - p / t) * inv(p % t, p) % p; } int main() { LL a, p; while(~scanf("%lld%lld", &a, &p)) { printf("%lld ", inv(a%p, p)); } }
它可以在O(n)的复杂度内算出n个数的逆元 #include const int N = 200000 + 5; const int MOD = (int)1e9 + 7; int inv[N]; int init() { inv[1] = 1; for(int i = 2; i < N; i ++) inv[i] = (MOD - MOD / i) * 1ll * inv[MOD % i] % MOD; } int main() { init(); }