1，向量的模和范数的计算结果都是一个实数，这个数字对应着单个向量的长度或者两个向量之间的距离。

2，在空间几何中（经常是2或3维空间），常用模来表示向量的长度或两个向量间的距离，符号为||$vec{x}$||。

例子：
在二维空间中有两个向量：$vec{x}=(1,2)，vec{y}=(2,3)$，
则$vec{x}的长度为||vec{x}||=sqrt{1^2+2^2}$，
则$vec{x}和vec{y}之间的距离为||vec{x}-vec{y}||=sqrt{(1-2)^2+(2-3)^2}$。

3，在线性代数中，常用范数这个概念。对于1维空间的实数集，标准的范数就是绝对值，将绝对值的概念推广到多维空间就叫做范数。

4，范数的定义：

A norm is any function g that maps vectors to real numbers that satises the following conditions:
1, Non-negativity: for all $vec{x} in R^D, g(vec{x})>=0;$
2, Strictly positive: for all $vec{x}, g(vec{x})=0$ implies that $vec{x}=0$;
3, Homogeneity: for all $vec{x}$ and a, $g(avec{x})=|a|g(vec{x}),$ where |a| is the absolute value;
4, Triangle inequality: for all $vec{x}, vec{y}, g(vec{x}, vec{y})<=g(vec{x})+g(vec{y})$.

5，ell-p norm ($ell_p$)

这是一类特殊的范数家族，读作“little ell p 范数”。
定义如下：
Let $p$ be in the range $[0, infin]$; then the $ell_p$ norm of x, denoted by $||vec{x}||_p$, is dened by: $||vec{x}||_p=(sum_{d=1}^{D}|x_{d}|^p)^frac{1}{p}$

6，由$ell_p$范数家族衍生出来的特殊范数

1，欧式范数（Euclidean norm）:
$g(x)=sqrt{sum_{d=1}^{D} x_d^2}$
（对应着$ell_2范数$） 2，曼哈顿范数（Manhattan norm）:
$g(x)=sum_{d=1}^{D} |x_d|$
（对应着$ell_1范数$） 3，最大值范数（Maximum norm）:
$g(x)=max_d|x_d|$
（对应着$ell_infin范数$） 4，0范数（Zero norm）:
$g(x)=sum_{d=1}^{D}1[x_d不等于0]$
（对应着$ell_0范数$）