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韩信点兵问题（中国剩余定理）

标签： 数论

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问题描述：假设有x个数，模3得a,模5得b,模7得c，求x的最小值。 首先

• 70是5,7（除了3以外其他用作取模的数的乘积）的公倍数且是最小的模3得1的数。（572）
• 21是3,7的公倍数且是最小的模5得1的数。（371）
• 15是3,5的公倍数且是最小的模7得1的数。（351）

那么：

• 702就是最小的满足5,7公倍数且模3得2的数，由于70模3得1，那么显然702模3就是2了，那么推广下去，70*a模3就是a了。
• 其他两个同理

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那么：x=70a+21b+15c。
21b和15c都是3的倍数，对余数没有贡献，只有70a对余数有贡献 ，其他两项同理可得。
3,5,7的最小公倍数是105，也就是说105是一个周期，x=(70a+21b+15c)+k105 (k为整数），最小正整数解就是x=(70a+21b+15*c)%105;

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剩余定理成立的条件：

用来做模数的数（也就是3,5,7）两两互质。倘若不互质，假设是（2,3,4），那么34的倍数永远是2的倍数，找不到一个34的倍数满足模2得a。