第五章 矩阵的特征值和特征向量
来源:线性代数精品课程组 作者:线性代数精品课程组
1.教学目的和要求:
(1) 理解矩阵的特征值和特征向量的概念及性质,会求矩阵的特征值和特征向量.
(2) 了解相似矩阵的概念、性质及矩阵可相似对角化的充分必要条件,会将矩阵化为相似对角矩阵.
(3) 了解实对称矩阵的特征值和特征向量的性质.
2.教学重点:
(1) 会求矩阵的特征值与特征向量.
(2) 会将矩阵化为相似对角矩阵.
3.教学难点:将矩阵化为相似对角矩阵.
4.教学内容:
本章将介绍矩阵的特征值、特征向量及相似矩阵等概念,在此基础上讨论矩阵的对角化问题.
§1 矩阵的特征值和特征向量
定义1 设

是一个

阶方阵,

是一个数,如果方程

(1)
存在非零解向量,则称

为

的一个特征值,相应的非零解向量

称为属于特征值

的特征向量.
(1)式也可写成,

(2)
这是

个未知数

个方程的齐次线性方程组,它有非零解的充分必要条件是系数行列式

, (3)
即

上式是以

为未知数的一元

次方程,称为方阵

的特征方程. 其左端

是

的

次多项式,记作

,称为方阵

的特征多项式.

=

=

=

显然,

的特征值就是特征方程的解.特征方程在复数范围内恒有解,其个数为方程的次数(重根按重数计算),因此,

阶矩阵

有

个特征值.
设

阶矩阵

的特征值为

由多项式的根与系数之间的关系,不难证明
(ⅰ)

(ⅱ)

若

为

的一个特征值,则

一定是方程

的根, 因此又称特征根,若

为方程

的

重根,则

称为

的

重特征根.方程

的每一个非零解向量都是相应于

的特征向量,于是我们可以得到求矩阵

的全部特征值和特征向量的方法如下:
第一步:计算

的特征多项式

;
第二步:求出特征方程

的全部根,即为

的全部特征值;
第三步:对于

的每一个特征值

,求出齐次线性方程组:

的一个基础解系

,则

的属于特征值

的全部特征向量是

(其中

是不全为零的任意实数).
例1 求

的特征值和特征向量.
解 
的特征多项式为

=

所以

的特征值为

当

=2时,解齐次线性方程组

得

解得

令

=1,则其基础解系为:

=

因此,属于

=2的全部特征向量为:

.
当

=4时,解齐次线性方程组

得

令

=1,
则其基础解系为:

因此

的属于

=4的全部特征向量为
[注]:若
是
的属于
的特征向量,则
也是对应于
的特征向量,因而特征向量不能由特征值惟一确定.反之,不同特征值对应的特征向量不会相等,亦即一个特征向量只能属于一个特征值.
例2 求矩阵

的特征值和特征向量.
解 
的特征多项式为

=

=

,
所以

的特征值为

=

=2(二重根),

.
对于

=

=2,解齐次线性方程组

.由

,
得基础解系为:

因此,属于

=

=2的全部特征向量为:

不同时为零

.
对于

,解齐次线性方程组

.由

,
得基础解系为:

因此,属于

的全部特征向量为:

由以上讨论可知,对于方阵

的每一个特征值,我们都可以求出其全部的特征向量.但对于属于不同特征值的特征向量,它们之间存在什么关系呢?这一问题的讨论在对角化理论中有很重要的作用.对此我们给出以下结论:
定理1 属于不同特征值的特征向量一定线性无关.
证明 设

是矩阵

的不同特征值,而

分别是属于

的特征向量,要证

是线性无关的.我们对特征值的个数

作数学归纳法证明.
当

时,由于特征向量不为零,所以结论显然成立.
当

>1时,假设

时结论成立.
由于

是

的不同特征值,而

是属于

的特征向量,因此

如果存在一组实数

使

(3)
则上式两边乘以

得

(4)
另一方面,

,即

(5)
(4)-(5)有

由归纳假设,

线性无关,因此

而

互不相同,所以


.于是(3)式变为

.
因

,于是

.可见

线性无关.
课后作业:习题五 5-12
§2 相似矩阵
定义2 设

、

都是

阶方阵,若存在满秩矩阵

, 使得

则称

与

相似,记作

,且满秩矩阵

称为将

变为

的相似变换矩阵.
“相似”是矩阵间的一种关系,这种关系具有如下性质:

⑴ 反身性:

~

;
⑵ 对称性:若

~

,则

~

;
⑶ 传递性:若

~

,

~

,则

~

.
相似矩阵还具有下列性质:
定理2 相似矩阵有相同的特征多项式,因而有相同的特征值.
证明 设

~

, 则存在满秩矩阵

,使

于是
推论 若

阶矩阵

与对角矩阵

相似,则

即是

的

个特征值.
定理3 设

是矩阵

的属于特征值

的特征向量,且

~

,即存在满秩矩阵

使

,则

是矩阵

的属于

的特征向量.
证明 因

是矩阵

的属于特征值

的特征向量,则有

于是

所以

是矩阵

的属于

的特征向量.
下面我们要讨论的主要问题是:对

阶矩阵

,寻求相似变换矩阵

,使

为对角矩阵,这就称为把方阵

对角化.
定理4 
阶矩阵

与对角矩阵

相似的充分必要条件是:矩阵

有

个线性无关的分别属于特征值

的特征向量(

中可以有相同的值).
证明 必要性
设

与对角矩阵

相似,则存在满秩矩阵

,使

=

设

则由上式得

即

,
因此

所以

是

的特征值,

是

的属于

的特征向量,又因

是满秩的,
故


线性无关.
充分性
如果

有

个线性无关的分别属于特征值

的特征向量


,
则有

设

则

是满秩的,于是

,
即

=
[注]:由定理4,一个
阶方阵能否与一个
阶对角矩阵相似,关键在于它是否有
个线性无关的特征向量.
(1)如果一个
阶方阵有
个不同的特征值,则由定理1可知,它一定有
个线性无关的特征向量,因此该矩阵一定相似于一个对角矩阵..
(2)如果一个
阶方阵有
个特征值(其中有重复的),则我们可分别求出属于每个特征值的基础解系,如果每个
重特征值的基础解系含有
个线性无关的特征向量,则该矩阵与一个对角矩阵相似.否则该矩阵不与一个对角矩阵相似.
可见,如果一个
阶方阵有
个线性无关的特征向量,则该矩阵与一个
阶对角矩阵相似,并且以这
个线性无关的特征向量作为列向量构成的满秩矩阵
,使
为对角矩阵,而对角线上的元素就是这些特征向量顺序对应的特征值.
例3 设矩阵

,求一个满秩矩阵

,使

为对角矩阵.
解 
的特征多项式为

所以

的特征值为


.
对于

解齐次线性方程组

,得基础解系

,即为

的两个特征向量

对于

=2,解齐次线性方程组

,得基础解系

,即为

的一个特征向量

.
显然

是线性无关的,取

,
即有

.
例4 设

,考虑

是否相似于对角矩阵.
解

所以

的特征值为


.
对于

解齐次线性方程组

,得基础解系

即为

一个特征向量

,
对于

,解齐次线性方程组

,得基础解系

,即为

的另一个特征向量

.
由于

只有两个线性无关的特征向量,因此

不能相似于一个对角矩阵.
课后作业:习题五 13-16
§3 向量组的正交性
在解析几何中,二维、三维向量的长度以及夹角等度量性质都可以用向量的内积来表示,现在我们把内积推广到

维向量中.
定义3 设有

维向量

,

,令

=

,则

称为向量

和

的内积.
[注]:内积是向量的一种运算,若用矩阵形式表示,当
和
是行向量时,
=
,当
和
都是列向量时,
=
.
内积具有下列性质(其中

为

维向量,

为常数):
(1)

=

;
(2)

=


;
(3)

=

+

;
(4)

,当且仅当

=0时等号成立.
定义4 令
|

|=

称|

|为

维向量

的模(或长度).
向量的模具有如下性质:
(1)当

≠0时,|

|>0;当

=0时,|

|=0;
(2)|


|=|

|
|

|,(

为实数);
(3)|

|≤|

||

|;
(4)|

≤|

|+|

|;
特别地,当|

|=1时,称

为单位向量.
如果|

|≠0,由性质(2),向量

是一个单位向量.可见,用向量

的模去除向量

,可得到一个与

同向的单位向量,我们称这一运算为向量的单位化,或标准化.
如果

、

都为非零向量,由性质(3)

≤1,
于是有下述定义:
定义5 当|

| ≠0,|

|≠0时

称为

维向量

、

的夹角.
特别地:当

=0时,

,因此有
定义 当

=0时,称向量

与

正交.(显然,若

=0,则

与任何向量都正交).
向量的正交性可推广到多个向量的情形.
定义6 已知

个非零向量

,若

=0

,则称

为正交向量组.
定义7 若向量组

为正交向量组,且|

|=1

,则称

为标准正交向量组.
例如,
维单位向量组

=

,

,

是正交向量组.
正交向量组有下述重要性质:
定理5 正交向量组

是线性无关的向量组.
定理的逆命题一般不成立,但是任一线性无关的向量组总可以通过如下所述的正交化过程,构成正交化向量组,进而通过单位化,构成标准正交向量组.
定理6 设向量组

线性无关,由此可作出含有

个向量的正交向量组

,其中,
,
,
……
.
再取

则

为标准正交向量组.
上述从线性无关向量组

导出正交向量组

的过程称为施密特(Schimidt)正交化过程.它不仅满足

与

等价,还满足:对任何

,向量组

与

等价.
例5 把向量组

=(1,1,0,0),

=(1,0,1,0),

=(-1,0,0,1)化为标准正交向量组.
解 容易验证

,

,

是线性无关的.
将

,

,

正交化,令

=

,

=

,

再把

单位化

,

则

即为所求的标准正交向量组.
定理7 若

是

维正交向量组,

,则必有

维非零向量

,使

,

成为正交向量组.
推论 含有

个(

)向量的

维正交(或标准正交)向量组,总可以添加

个

维
非零向量,构成含有

个向量的

维正交向量组.
例6 已知

,求一组非零向量


,使

,

,

成为正交向量组.
解 

应满足方程

=0,即


.
它的基础解系为


把基础解系正交化,即为所求.亦即取

其中

于是得
定义8 如果

阶矩阵

满足

(即

),那么称

为正交矩阵.
正
交矩阵具有如下性质:
(1)矩阵

为正交矩阵的充分必要条件是

;
(2)正交矩阵的逆矩阵是正交矩阵;
(3)两个正交矩阵的乘积仍是正交矩阵;
(4)正交矩阵是满秩的,且|

=1或

.
由等式

可知,正交矩阵

的元素满足关系式

(其中

)
可见正交矩阵任意不同两行(列)对应元素乘积之和为0,同一行(列)元素的平方和为1,因此正交矩阵的行(列)所构成的向量组为标准正交向量组,反之亦然.于是有
定理8 一个

阶矩阵为正交矩阵的充分必要条件是它的行(或列)向量组是一个标准正交向量组.
课后作业:习题五 1-4
§4 实对称矩阵的相似对角化
在§2中,我们讨论了相似矩阵的概念和性质以及一般的

阶矩阵与对角矩阵相似的问题.本节将进一步讨论用正交变换化实对称矩阵为对角矩阵的问题.为此首先