poj1845 逆元，快速模幂

2019-04-13 14:16发布

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题目大意： 给定两个正整数和，求的所有因子和对9901取余后的值。
分析： 很容易知道，先把分解得到，那么得到，那么      的所有因子和的表达式如下        因为要取模且存在除法，所以要用到逆元。
对于正整数和，如果有，那么把这个同余方程中的最小正整数解叫做模的逆元。   逆元一般用扩展欧几里得算法来求得，如果为素数，那么还可以根据费马小定理得到逆元为。   推导过程如下                                求现在来看一个逆元最常见问题，求如下表达式的值（已知）                 当然这个经典的问题有很多方法，最常见的就是扩展欧几里得，如果是素数，还可以用费马小定理。   但是你会发现费马小定理和扩展欧几里得算法求逆元是有局限性的，它们都会要求与互素。实际上我们还有一 种通用的求逆元方法，适合所有情况。公式如下                现在我们来证明它，已知，证明步骤如下             
等比数列求和公式，用如下公式即可                           因为可能会很大，超过int范围，所以在快速幂时要二分乘法。

接下来就是代码了：（一定要讲乘法二分，还有取模后一定要加模） #include #include #include #include #include #include #include #include #include #include #include #include #include using namespace std; #pragma comment(linker, "/STACK:102400000,102400000") #define maxn 10005 #define MOD 1000000007 #define mem(a , b) memset(a , b , sizeof(a)) #define LL long long #define ULL long long const long long INF=0x3fffffff; bool prime[maxn]; int p[maxn]; void is_prime() { mem(prime , true); int id = 0; prime[0] = prime[1] = false; for(int i = 2 ; i < maxn ; i ++) { if(prime[i]) { p[id++] = i; int j = 2 * i; while(j <= maxn) prime[j] = false , j += i; } } } LL mulit(LL a , LL b , LL mod) { a %= mod; b %= mod; LL res = 0; while(b) { if(b & 1) { res = (res + a) % mod; } b >>= 1; a = (a + a) % mod; } return res % mod; } LL quick_mod(LL a , LL b , LL mod) { LL res = 1; while(b) { if(b & 1) { res = mulit(res , a , mod); } a = mulit(a , a , mod); b >>= 1; } return res; } //ofstream ofile; int main() { LL a , b; is_prime(); while(scanf("%lld %lld",&a , &b) != EOF ) { LL ans = 1; for(int i = 0 ; p[i] * p[i] <= a ; i++) { if(a % p[i] == 0) { int num = 0; while(a % p[i] == 0) { num ++; a /= p[i]; } ans *= (quick_mod(p[i] , num * b+1 , 9901 *(p[i]-1) ) + (9901 *(p[i]-1))- 1) / (p[i] - 1); ans %= 9901; } } if(a > 1) { ans *= (quick_mod(a , b+1 , 9901 *(a-1) ) + 9901 *(a-1) - 1) / (a - 1); ans %= 9901; } cout << ans << endl; } return 0; }

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