欧几里德算法： 复习：求最大公约数算法（欧几里得算法、也叫辗转相除法）。欧几里德算法又称辗转相除法，用于计算两个整数a,b的最大公约数。 基本算法：设a=qb+r，其中a，b，q，r都是整数，则gcd(a,b)=gcd(b,r)，即gcd(a,b)=gcd(b,a%b)。 第一种证明：      a可以表示成a = kb + r，则r = a mod b 　　假设d是a,b的一个公约数，则有 　　d|a, d|b，而r = a - kb，因此d|r 　　因此d是(b,a mod b)的公约数 　　假设d 是(b,a mod b)的公约数，则 　　d | b , d |r ，但是a = kb +r 　　因此d也是(a,b)的公约数 　　因此(a,b)和(b,a mod b)的公约数是一样的，其最大公约数也必然相等，得证 第二种证明：     要证欧几里德算法成立，即证: gcd(a,b)=gcd(b,r),其中 gcd是取最大公约数的意思，r=a mod b
    下面证 gcd（a，b）=gcd（b，r）
    设  c是a，b的最大公约数，即c=gcd（a，b），则有 a=mc，b=nc，其中m，n为正整数，且m，n互为质数
    由 r= a mod b可知，r= a- qb 其中，q是正整数，
    则 r=a-qb=mc-qnc=（m-qn）c
    b=nc,r=(m-qn)c，且n，（m-qn）互质   （假设n，m-qn不互质，则n=xd, m-qn=yd 其中x,y,d都是正整数，且d>1
   则a=mc=(qx+y)dc, b=xdc,这时a,b 的最大公约数变成dc，与前提矛盾，所以n ，m-qn一定互质）
   则gcd（b,r）=c=gcd（a,b）
   得证。   算法的实现： 最简单的方法就是应用递归算法，代码如下： [cpp] view plain copy

1. int gcd(int a,int b)  
2. {  
3.     if(b==0)  
4.         return a;  
5.     return   
6.         gcd(b,a%b);  
7. }  

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1. int gcd(int a,int b)  
2. {  
3.     return b ? gcd(b,a%b) : a;  
4.  }  

扩展欧几里德算法：
基本算法：对于不完全为 0 的非负整数 a，b，gcd（a，b）表示 a，b 的最大公约数，必然存在整数对 x，y ，使得 ： gcd（a，b）=ax+by。 证明：设 a>b。 　　1，显然当 b=0，gcd（a，b）=a。此时 x=1，y=0； 　　2，ab!=0 时 　　设 ax1+by1=gcd(a,b); 　　bx2+(a mod b)y2=gcd(b,a mod b); 　　根据朴素的欧几里德原理有 gcd(a,b)=gcd(b,a mod b); 　　则:ax1+by1=bx2+(a mod b)y2; 　　即:ax1+by1=bx2+(a-(a/b)*b)y2=ay2+bx2-(a/b)*by2; 　　根据恒等定理得：x1=y2; y1=x2-(a/b)*y2;      这样我们就得到了求解 x1,y1 的方法：x1，y1 的值基于 x2，y2. 　  上面的思想是以递归定义的，因为 gcd 不断的递归求解一定会有个时候 b=0，所以递归可以结束。 扩展欧几里德的递归代码： [cpp] view plain copy

1. int exgcd(int a,int b,int &x,int &y)  
2. {  
3.     if(b==0)  
4.     {  
5.         x=1;  
6.         y=0;  
7.         return a;  
8.     }  
9.     int r=exgcd(b,a%b,x,y);  
10.     int t=x;  
11.     x=y;  
12.     y=t-a/b*y;  
13.     return r;  
14. }  

扩展欧几里德非递归算法思路参见附文：欧几里德算法和扩展欧几里德算法。（非递归算法思路解析） 扩展欧几里德非递归代码：
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1. int exgcd(int m,int n,int &x,int &y)  
2. {  
3.     int x1,y1,x0,y0;  
4.     x0=1; y0=0;  
5.     x1=0; y1=1;  
6.     x=0; y=1;  
7.     int r=m%n;  
8.     int q=(m-r)/n;  
9.     while(r)  
10.     {  
11.         x=x0-q*x1; y=y0-q*y1;  
12.         x0=x1; y0=y1;  
13.         x1=x; y1=y;  
14.         m=n; n=r; r=m%n;  
15.         q=(m-r)/n;  
16.     }  
17.     return n;  
18. }  

扩展欧几里德算法的应用主要有以下三方面： （1）求解不定方程； （2）求解模线性方程（线性同余方程）； （3）求解模的逆元；   （1）使用扩展欧几里德算法解决不定方程的办法：   对于不定整数方程pa+qb=c，若 c mod Gcd(p, q)=0,则该方程存在整数解，否则不存在整数解。   上面已经列出找一个整数解的方法，在找到p * a+q * b = Gcd(p, q)的一组解p0,q0后，    p * a+q * b = Gcd(p, q)的其他整数解满足：    p = p0 + b/Gcd(p, q) * t    q = q0 - a/Gcd(p, q) * t(其中t为任意整数)
  至于pa+qb=c的整数解，只需将p * a+q * b = Gcd(p, q)的每个解乘上 c/Gcd(p, q) 即可。   在找到p * a+q * b = Gcd(a, b)的一组解p0,q0后，应该是得到p * a+q * b = c的一组解   p1 = p0*(c/Gcd(a,b)),q1 = q0*(c/Gcd(a,b))，   p * a+q * b = c的其他整数解满足：   p = p1 + b/Gcd(a, b) * t   q = q1 - a/Gcd(a, b) * t(其中t为任意整数)   p 、q就是p * a+q * b = c的所有整数解。   相关证明可参考：http://www.cnblogs.com/void/archive/2011/04/18/2020357.html     用扩展欧几里得算法解不定方程ax+by=c;   代码如下： [cpp] view plain copy

1. bool linear_equation(int a,int b,int c,int &x,int &y)  
2. {  
3.     int d=exgcd(a,b,x,y);  
4.     if(c%d)  
5.         return false;  
6.     int k=c/d;  
7.     x*=k; y*=k;    //求得的只是其中一组解  
8.     return true;  
9. }  

(2)用扩展欧几里德算法求解模线性方程的方法：     同余方程 ax≡b (mod n)对于未知数 x 有解，当且仅当 gcd(a,n) | b。且方程有解时，方程有 gcd(a,n) 个解。     求解方程 ax≡b (mod n) 相当于求解方程 ax+ ny= b, (x, y为整数)     设 d= gcd(a,n)，假如整数 x 和 y，满足 d= ax+ ny(用扩展欧几里德得出)。     如果 d| b，则方程a* x0+ n* y0= d， 方程两边乘以 b/ d，(因为 d|b，所以能够整除)，     得到 a* x0* b/ d+ n* y0* b/ d= b。     所以 x= x0* b/ d，y= y0* b/ d 为 ax+ ny= b 的一个解，所以 x= x0* b/ d 为 ax= b (mod n ) 的解。     ax≡b (mod n)的一个解为 x0= x* (b/ d ) mod n，且方程的 d 个解分别为 xi= (x0+ i* (n/ d ))mod n {i= 0... d-1}。     设ans=x*(b/d),s=n/d;     方程ax≡b (mod n)的最小整数解为：(ans%s+s)%s;     相关证明：     证明方程有一解是: x0 = x'(b/d) mod n;     由 a*x0 = a*x'(b/d) (mod n)          a*x0 = d (b/d) (mod n)   (由于 ax' = d (mod n))
                 = b (mod n)     证明方程有d个解: xi = x0 + i*(n/d)  (mod n);     由 a*xi (mod n) = a * (x0 + i*(n/d)) (mod n)                              = (a*x0+a*i*(n/d)) (mod n)                              = a * x0 (mod n)                 (由于 d | a)                              = b 首先看一个简单的例子： 5x=4(mod3) 解得x = 2,5,8,11,14....... 由此可以发现一个规律，就是解的间隔是3. 那么这个解的间隔是怎么决定的呢？ 如果可以设法找到第一个解，并且求出解之间的间隔，那么就可以求出模的线性方程的解集了. 我们设解之间的间隔为dx. 那么有 a*x = b(mod n); a*(x+dx) = b(mod n); 两式相减，得到: a*dx(mod n)= 0; 也就是说a*dx就是a的倍数，同时也是n的倍数，即a*dx是a 和 n的公倍数.为了求出dx,我们应该求出a 和 n的最小公倍数,此时对应的dx是最小的. 设a 和 n的最大公约数为d,那么a 和 n 的最小公倍数为(a*n)/d. 即a*dx = a*n/d; 所以dx = n/d. 因此解之间的间隔就求出来了. 代码如下： [cpp] view plain copy

1. bool modular_linear_equation(int a,int b,int n)  
2. {  
3.     int x,y,x0,i;  
4.     int d=exgcd(a,n,x,y);  
5.     if(b%d)  
6.         return false;  
7.     x0=x*(b/d)%n;   //特解  
8.     for(i=1;i
9.         printf("%d ",(x0+i*(n/d))%n);  
10.     return true;  
11. }  

（3）用欧几里德算法求模的逆元：        同余方程ax≡b (mod n)，如果 gcd(a,n)== 1，则方程只有唯一解。       在这种情况下，如果 b== 1，同余方程就是 ax=1 (mod n ),gcd(a,n)= 1。       这时称求出的 x 为 a 的对模 n 乘法的逆元。       对于同余方程 ax= 1(mod n )， gcd(a,n)= 1 的求解就是求解方程       ax+ ny= 1，x, y 为整数。这个可用扩展欧几里德算法求出，原同余方程的唯一解就是用扩展欧几里德算法得出的 x 。
来源：http://www.cnblogs.com/frog112111/archive/2012/08/19/2646012.html

中国剩余定理 

前置技能

扩展欧几里得算法: 
求出形似 
a⋅x+b⋅y=1gcd(a,b)=1
也即 
a⋅x