乘法逆元

对于缩系中的元素，每个数a均有唯一的与之对应的乘法逆元x，使得ax≡1(mod n)
一个数有逆元的充分必要条件是gcd(a,n)=1，此时逆元唯一存在
逆元的含义：模n意义下，1个数a如果有逆元x，那么除以a相当于乘以x。 下面给出求逆元的几种方法

1 循环找解法

给定模m和需要求逆的数x，直接暴力枚举1~m-1
检查是否有x*i=1(mod m) 这种算法可以应用与写暴力、对拍、模数较小,求逆次数少的情况
时间复杂度O(m)

2 扩展欧几里得算法

给定模数m，求a的逆相当于求解ax=1(mod m)
这个方程可以转化为ax-my=1
然后套用求二元一次方程的方法，用扩展欧几里得算法求得一组x0,y0和gcd
检查gcd是否为1
gcd不为1则说明逆元不存在
若为1，则调整x0到0~m-1的范围中即可 void ext_gcd(int a,int b,int &d,int &x,int &y){ if (b==0){ d=a;x=1;y=0; return; } ext_gcd(b,a%b,d,y,x);//回代 y-=a/b*x; } int main(){ scanf("%d%d",&m,&n);//求m关于n的逆元 ext_gcd(m,n,d,x,y); printf("%d ",(x+n)%n); return 0; } 这种算法效率较高，常数较小，时间复杂度为O(ln n)

3 费马小定理及欧拉定理

在模为素数p的情况下，有费马小定理
a^(p-1)=1（mod p）
那么a^(p-2)=a^-1(mod p)
也就是说a的逆元为a^(p-2) 而在模不为素数p的情况下，有欧拉定理
a^phi(m)=1（mod m） (a⊥m)
同理a^-1=a^(phi(m)-1) 因此逆元x便可以套用快速幂求得了x=a^(phi(m)-1) 但是似乎还有个问题？如何判断a是否有逆元呢?
再求一次gcd判断是否互质吗?
这还不如直接用扩展欧几里得算法呢>_< 其实问题很简单，直接判断这是不是逆元就行了：
检验逆元的性质，看求出的幂值x与a相乘是否为1即可 这种算法复杂度为O(log2 n)
在几次测试中，常数似乎较上种方法大

4 O(n)求1~n逆元表

有时会遇到这样一种问题，
在模质数p下，求1~n逆元 n< p 这个问题有种很牛的算法，其基于以下的推导：
在求i的逆元时
p%i+[p/i]*i=p
令a=p%i，b=[p/i]，则有
a+b*i=p
a+b*i=0（mod p）
b*i=-a（mod p）
i^-1=-b/a
也就是说i的逆元为：-[p/i]*(p%i)^-1
而p%i＜i，那么可以从2递推到n求逆元，在求i之前p%i一定已经求出
这样就可以O(n)求出所有逆元了
(初始化 1^(-1)=1)
代码如下 inv[1]=1; fo(i,2,n) inv[i]=(long long)(p-p/i)*inv[p%i]%p; 除了上面这种算法之外，还有几种O(n)的逆元表求法，不过没有上面这种方法简便。
A 可以先O(n)预处理出1!~n! 然后用O(log n)的复杂度求出n!的逆元
然后就可以O(n)处理出i!的逆元 (1/i!=(i+1)/(i+1)! 倒推即可)
接下来就可以O(n)求出所有i的逆元 1/i=(i-1)!/i!
需要同时预处理阶乘 阶乘的逆元的题目可以采用这种方法求逆元表。 这种方法扩展性比较强，可以用这种方法求出一个序列中所有元素(元素前缀积)的逆元，复杂度也是O(n)，比一个个单独计算逆元效率更优。 B 可以用线性筛法。由于逆元是积性函数，合数的逆元可以O(1)计算，质数的逆元可以用O(log n)的复杂度求。由于n以内质数大约有n/log n个。总复杂度也是O(n)

调试问题

最后再简单讲讲如何调试，检测求得的逆元是否正确
还是同上面所说的那样，直接测试其与原数相乘是否为1即可了 这里顺便再啰嗦一句：如何检验快速幂算法是否正确呢(这还用检验)
随便找1个质数p，检测a^(p-1)%p是否都为1就行啦 (1<=a＜p)