《信号与系统学习笔记》—周期信号的博里叶级数表示（三）

2019-04-13 15:36发布生成海报

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注：本博客是基于奥本海姆《信号与系统》第二版编写，主要是为了自己学习的复习与加深。

一、滤波1、在各种不同的应用中，改变一个洗你号中的个频率分量的相对大小，或者全部消除某些频率分量之类的要求，常常是颇受关注的，这样一种过程称为滤波。2、用于改变频谱形状的线性时不变系统往往称为频率成形滤波器。专门设计成基本上乌石镇地通过某些频率，而显著的衰减掉活消除掉另一些频率的系统称为频率选择性滤波器。
一）、频率成形滤波器1、三级均衡滤波器下列各图示出一个用于一组特殊音频燕生气系统的三级均衡器电力。图中每一级频率响应的模都是以“对数-对数”坐标作图的，即模取

，单位为分贝（dB）。频率轴一对数尺度标出，单位是赫兹Hw(w/2π)。1）、用双位开关控制的低频滤波器

2）、连续可调成形滤波器频率响应的上下限特性范围

3）、均衡器的固定频率响应

图(a)和(b)的前两个滤波器共同组成系统的控制级。而图(c)的第三个滤波器是均衡级，它有如图所示的固定频率响应。2、微分滤波器常见的还有另一类频率成形滤波器，其输出为输入的导数，即

。在x(t)为

的情况下，y(t)也一定为

，由此其频率响应为

1）、一类微分滤波器的频率响应如下图所示

这个频率响应的形状就意味着：对复指数输入ejwt来说，较大的w值将有较大的放大；其结果就是微分滤波器在增强信号中的快熟变化部分或在信号快熟变换中是有用的。2）、微分滤波器经常应用的一种目的是在图像处理中用于边缘的增晰。3、离散时间新鲜时不变系统也能找到一些很广泛的应用领域。其中很多都涉及通过通用或专用数字处理器实现的离散时间系统的应用，以处理连续时间信号。
二）、频率选择性滤波器1、频率选择性滤波器是一类专门用于完全地或近似地选取某些频带范围内的信号和除掉其他频带范围内的信号的滤波器。2、一个低通滤波器就是通过低频（即在w=0附近的频率），而衰减或阻止较高频率的两年波奇。一个高通滤波器就是通过高频而衰减或阻止较低频率的滤波器。带通滤波器就是通过某一频带范围，而衰减掉即高于又低于索要进过的这段频带的滤波器。3、连续用时间理想滤波器1）、其无失真地通过一组频率上的复指数信号，并全部阻止掉所有其他频率的信号。2）、理想低通滤波器其频率响应

频率响应为

3）、理想高通两年波奇的频率响应

4）、理想带通两年波奇的频率响应

4、离散时间理想滤波器1）、理想低通滤波器的频率响应

2）、理想高通滤波器的频率响应

3）、理想带通滤波器的频率响应

5、在许多情况下，理想滤波器在很多应用中描述理想化系统的构成是很有用。然而，实际上它们有事不可实现的，智能近似实现。再者，即便它们可以实现，理想滤波器的某些特性使其对于某些特殊应用并不适合，事实上，一个非理想的滤波器或许更为可取。

二、用微分方程描述的连续苏志坚滤波器举例1、在许多应用中，频率选择性两年波奇使用线性系数微分或差分方程描述的线性时不变系统来实现的。
一）、简单RC低通滤波器1、一阶RC滤波器1）、图示

2）、假设取电容器上的电压v(t)作为输出，这时输出电压与输入电压就由下列线性常系数微分方程所关联

频率响应为

该频率响应的模和相位图如下所示

2、为了了解两年波奇设计中设计的一些折中和权衡问题，简要考虑一下该电路的时域特性，RC一阶电力的冲激响应是

单位阶跃响应是

其中冲激响应和单位阶跃响应如下图表示

将此图与上图进行比较。可以看到基本的折中：加入希望让两年波奇仅仅通过很低的一些频率，那么由靓图比较克制1/RC必须要小，或者等效于RC要大，以使那些不需要的频率有足够大的衰减；然而，由图所知，RC一旦变大，阶跃响应就得用较长的时间才能达到它的长期稳态值1。这就是说，该系统对阶跃输入的响应是缓慢的。相反，如果希望有较快的阶跃响应，就需要较小的RC值，这就意味着该两年波奇将通过较高的频率。
二）、简单RC高通两年波奇1、将RC电路输出宣威电阻两端的电压是另一种选择输出的方式。这时，关联输入和输出的微分方程是

频率响应为

下图为该频率响应的模和相位

由此图可见，该系统衰减掉较低的频率，而让较高的频率通过；也就是对于|w|>>Y/RC的频率有较小的衰减。

三、用差分方程描述的离散时间滤波器举例1、离散时间滤波器由线性常系数差分方程描述。由差分方程描述的离散时间线性是不安系统既可以是递归的，从而具有无限脉冲响应（IIR），又可以是非递归的，从具有有限脉冲响应（FIR）。
一）、一阶递归离散时间滤波器1、离散时间滤波器是由一阶差分方程所描述的线性时不变系统

该系统的频率响应是

当a=0.6和a=-0.6时H(ejw)的模和相位图示

可以看到，对于整的a值，上式的差分方程表现为一个低通滤波器，其在w=0附近的低频域由最小的衰减，而随着w朝w=π增加，衰减增大。对于负的a值，该系统是一个高通两年波奇，通过w=π附近的频率，二衰减掉较低的频率。事实上，对于任何整的a<1，该系统都近似为一个低通滤波器；而对任何负的a>-1，该系统都近似为一个高通滤波器。2、离散时间情况在时域和频域之间仍有一个这种问题。一阶差分方程描述的系统的单位脉冲响应是

单位阶跃响应是

从上面可看到，|a|也控制这单位脉冲响应和阶跃响应趋向它们长期稳定值的速度。较小的|a|值会有较快的响应，所有两年波奇也就具有较宽的通带带宽。高阶递归差分方程能够给出较陡峭的滤波器特性，并且时域和频域特性的均衡上也能提供更大的灵活性。
二）、非递归离散时间两年波奇1、一个有限脉冲响应非递归方程的一般形式是

这就是输出y{n}是x[n-N]到x[n+M]的(N+M+1)个值得加权平均，其加权平均系数为bk。这种形式的系统可以满足很广泛的一些滤波器要求，其中包括频率选择性滤波器。2、移动平均滤波器：对任意n，如n0的输出y[n]，就是在n0点附近x[n]的平均。它的基本思想就是局部平均，输入中的快熟变化的高频分量被平均掉，而低频变化部分得到保留，这就是对应于将原始序列进行平滑或低通滤波器。3、三点移动平均滤波器，其形式为