0. 二元运算

对于集合$S$，在集合上定义$f:Scirc S ightarrow S$。如果$f$满足：

0. 可运算：$f$对任意集合$S$中的两个元素$a、b$都有定义；
1. 单值性：$f:acirc b$只有一个值；
2. 封闭性：$f:acirc b in S,forall a,b in S$

那么，则说明$f$是定义在$S$上的二元运算。

1.群

1.0群的定义

在集合$S$上定义二元运算$+$，如果$S$关于$+$满足下列性质：

0. 结合律：$forall a,b,c in S$，$(a+b)+c=a+(b+c)$；
1. 有单位元$e$：$forall a in S$，满足$a+e=e+a=a$；
2. 每一个元素都可逆：$forall a in S,exists a^{-1} in S$，满足$a+a^{-1}=e$

那么，集合$S$关于$+$构成一个群，记作$G=(S,+)$。
如果$S$关于$+$满足交换律$a+b=b+a$，那么则称$G是一个交换群，又称作Abelian群（阿贝尔群）。

1.1群的相关性质

1.1.0 有限群与无限群

$|G|$称作群的阶，如果一个群有限群那么群中的元素是有限的；否则$G$是无限群。例如模$m$的非负剩余系$Z_m={0,1,2,3,..,m-1}$对于模m加法来说构成一个群。验证过程如下：

0. 可结合：$forall a ,b,cin Z_m,(a+b)+cmod m = a+(b+c) mod m$，显然成立；
1. 单位元：$0$是单位元，因为$forall a in Z_m,a+0=0+a=a mod m$；
2. 每一个元素都有逆元：$forall a in Z_m,exists b in Z_m$满足$a+b=m=0mod m$，即$a^{-1}=m-a$。

还可以证明$(Z_m,+)$是阿贝尔群。

1.1.1 子群

如果群$G$的非空子集$H$对$G$中的运算也构成一个群，那么则说$H$是$G$的子群，记作$Hleq G$。例如设$n$是一个整数，整数加群中所有$n$的倍数显然也构成一个群，因而是$Z$的子群。
子群的判定定理如下：群$G$的非空集合$H$是一个子群的充要条件是：对于$forall a,bin H$，有$a+b^{-1}in H$。

1.1.2 等价关系（补充）

在集合$A$上的一个二元关系$R$，如果关系$R$满足：

0. 自反性：若$ain A$，则$aRa$；
1. 对称性：若$a,bin A,aRb$，则$bRa$；
2. 传递性：若$a,b,cin A,aRb,bRc$，则$aRc$；

那么称关系$R$是$A$上的等价关系。例如模$m$同余就是一种等价关系。

1.1.3 陪集

$G$是一个群，$H$是它的子群，当且仅当$a,bin G$满足$b^{-1}+ain H$时，在群$G$上定义一个关系$R$：$aRb$。可以验证：

0. 对于$forall a in G$