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模P乘法逆元  对于整数a、p，如果存在整数b，满足ab mod p =1，则说，b是a的模p乘法逆元。  定理：a存在模p的乘法逆元的充要条件是gcd(a,p) = 1
 证明：  首先证明充分性  如果gcd(a,p) = 1，根据欧拉定理，aφ(p) ≡ 1 mod p，因此  显然aφ(p)-1 mod p是a的模p乘法逆元。
 再证明必要性  假设存在a模p的乘法逆元为b  ab ≡ 1 mod p  则ab = kp +1 ，所以1 = ab - kp  因为gcd(a,p) = d  所以d | 1  所以d只能为1  扩展欧几里德算法对于最大公约数的计算和普通欧几里德算法是一致的。计算乘法逆元则显得很难明白。下面是证明：
 首先重复拙作整除中的一个论断：
 如果gcd(a,b)=d，则存在m,n，使得d = ma + nb，称呼这种关系为a、b组合整数d，m，n称为组合系数。当d=1时，有 ma + nb = 1 ，此时可以看出m是a模b的乘法逆元，n是b模a的乘法逆元。  (按照上面算出来的m,n可能为负数，最后要把它转化为正数)。完整程序如下：*/ #include using namespace std; int extended_gcd(int a,int b, int &x, int &y) {     if (b == 0)     {         x = 1;         y = 0;         return a;     }     else     {         int gcd = extended_gcd(b, a % b, x, y);         int t = x;         x = y;         y = t - (a / b) * y;         return gcd;     } } int main() {     int i, x, y;     const int P = 13;     for (i = 1; i < P; ++i)     {         extended_gcd(i, P, x, y);         while (x < 0) x += P;         printf("1 div %d = %d ", i, x);     }     return 0; } //扩展的欧几里德算法求乘法逆元 #include int ExtendedEuclid(int f, int d, int *result); int main() {     int x, y, z;     z = 0;     printf("输入两个数： ");     scanf("%d%d", &x, &y);     if (ExtendedEuclid(x, y, &z))         printf("%d和%d互素，乘法的逆元是：%d ", x, y, z);     else         printf("%d和%d不互素，最大公约数为：%d ", x, y, z);     return 0; }
int ExtendedEuclid(int f, int d, int *result) {     int x1, x2, x3, y1, y2, y3, t1, t2, t3, q;     x1 = y2 = 1;     x2 = y1 = 0;     x3 = (f >= d) ? f : d;     y3 = (f >= d) ? d : f;     while (1) {         if (y3 == 0) {             *result = x3; /* 两个数不互素则result为两个数的最大公约数，此时返回值为零 */             return 0;         }         if (y3 == 1) {             *result = y2; /* 两个数互素则resutl为其乘法逆元，此时返回值为1 */             return 1;         }         q = x3 / y3;         t1 = x1 - q*y1;         t2 = x2 - q*y2;         t3 = x3 - q*y3;         x1 = y1;         x2 = y2;         x3 = y3;         y1 = t1;         y2 = t2;         y3 = t3;     } }