二次剩余--欧拉准则

2019-04-13 16:42发布

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在数论中，二次剩余的欧拉判别法（又称欧拉准则）是用来判定给定的整数是否是一个质数的二次剩余。

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叙述

若p是奇质数且p不能整除d，则：
d是模p的二次剩余当且仅当：
d^{ frac{p-1}{2}} equiv 1 pmod{p}
d是模p的非二次剩余当且仅当：
d^{ frac{p-1}{2}} equiv -1 pmod{p}
以勒让德符号表示，即为： d^{ frac{p-1}{2}} equiv left( frac{d}{p} ight) pmod{p}

举例

例子一：对于给定数，寻找其为二次剩余的模数

令a = 17。对于怎样的质数p，17是模p的二次剩余呢？ 根据判别法里给出的准则，我们可以从小的质数开始检验。 首先测试p = 3。我们有：17(3 − 1)/2 = 171 ≡ 2 (mod 3) ≡ -1 (mod 3)，因此17不是模3的二次剩余。 再来测试p = 13。我们有：17(13 − 1)/2 = 176 ≡ 1 (mod 13)，因此17是模13的二次剩余。实际上我们有：17 ≡ 4 (mod 13)，而22 = 4. 运用同余性质和勒让德符号可以加快检验速度。继续算下去，可以得到：
对于质数p =13, 19, cdots，(17/p) = +1（也就是说17是模这些质数的二次剩余）。
对于质数p =3, 5, 7, 11, 23, cdots，(17/p) = -1（也就是说17是模这些质数的二次非剩余）。

例子二：对指定的质数p，寻找其二次剩余

哪些数是模17的二次剩余？ 我们可以手工计算：
12 = 1
22 = 4
32 = 9
42 = 16
52 = 25 ≡ 8 (mod 17)
62 = 36 ≡ 2 (mod 17)
72 = 49 ≡ 15 (mod 17)
82 = 64 ≡ 13 (mod 17)
于是得到：所有模17的二次剩余的集合是{1,2,4,8,9,13,15,16}。要注意的是我们只需要算到8，因为9=17-8，9的平方与8的平方模17是同余的：92 = (−8)2 = 82 ≡ 13 (mod 17).（同理不需计算比9大的数）。 但是对于验证一个数是不是模17的二次剩余，就不必将所有模17的二次剩余全部算出。比如说要检验数字3是否是模17的二次剩余，只需要计算3(17 − 1)/2 = 38 ≡ 812 ≡ ( − 4)2 ≡ − 1 (mod 17)，然后由欧拉准则判定3不是模17的二次剩余。 欧拉准则与高斯引理以及二次互反律有关，并且在定义欧拉-雅可比伪素数（见伪素数）时会用到。

证明

首先，由于p 是一个奇素数，由费马小定理，d^{p-1} equiv 1 pmod{p}。但是p-1是一个偶数，所以有
(d^{ frac{p-1}{2} } -1) cdot (d^{ frac{p-1}{2} }+1) equiv 0 pmod{p}
p 是一个素数，所以d^{ frac{p-1}{2} } -1 和 d^{ frac{p-1}{2} }+1中必有一个是p 的倍数。因此d^{ frac{p-1}{2} }模p的余数必然是1或-1。
  • 证明若d是模p的二次剩余，则d^{ frac{p-1}{2}} equiv 1 pmod{p}
若d是模p的二次剩余，则存在 x^2 equiv d pmod{p}，p跟d,x互质。根据费马小定理得：
d^{ frac{p-1}{2}} equiv x^{p-1} equiv 1 pmod{p}
  • 证明若d^{ frac{p-1}{2} } equiv 1 pmod{p}，则d是模p的二次剩余
p 是一个奇素数，所以关于p的原根存在。设a是p的一个原根，则存在1 le j le p-1使得d=a^j。于是
a^{j frac{p-1}{2} } equiv 1 pmod{p}
a是p的一个原根，因此a模p的指数是p-1，于是p-1整除frac{ j(p-1) }{2}。这说明j是一个偶数。令i = frac{j}{2}，就有(a^i)^2 =a^{2i} = d。d是模p

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