本文为先前复习回顾电动力学时写下的物理笔记。

• 相速度和群速度
  • 群速度推导
• 傅里叶变换与波动方程的 {MOD}散关系
• 介电常数与电导
  • 介电函数与电导率的关系
  • 介电函数与折射率
• 散度定理
• 电子迁移率
• 电磁波波动方程
• 自由电子气的介电函数
  • 自由电子气介电函数推导

相速度（phase velocity）和群速度（group velocity）

形如$u(x, t)=exp left(i kleft[x-frac{omega(k)}{k} t ight] ight)$定义波速为相位传播速度，即$x-frac{w(k)}{k} t=c$,其中c为定值，相速度$v_p=frac{dx}{dt}=frac{w(k)}{k}$。 群速度$v_g=frac{dw(k)}{dk}$，物理意义为波包（集中于$w_0$附近的复 {MOD}波）传播速度。 对于单 {MOD}波$w=w_0$,相速度与群速度相等$v_p=v_g$。

群速度推导

考虑集中于$w_0$附近的复 {MOD}波，将其做傅里叶变换，将角频率在$w_0$附近做泰勒展开，代入傅里叶变换。 $u(x, t)$会分解为(振幅随时间振动项$e^{iphi}$)$imes$(以波速为$w'(k_0)$的行波$e^{i kleft(x-omega^{prime}left(k_{0} ight) t ight)}$)，可看成$w'(k_0)$速度传播的波包 考虑中心角频率$w=w_0$,带宽为[$w_0-delta w,w_0+delta w$]的一列波，且$delta w$十分小，此时$w$可以在$w_0$处做泰勒展开，$w=w_0+frac{dw}{dk}(k-k_0)$。 对该波做傅里叶展开，
$u(x, t)=int_{-infty}^{infty} hat{u}(k) e^{i k x-i omega(k) t} d k$将角频率$w$的泰勒展开代入上式得到，
$u(x, t) approx e^{i tleft[omega^{prime}left(k_{0} ight) k_{0}-omegaleft(k_{0} ight) ight]} int_{-infty}^{infty} hat{u}(k) e^{i kleft(x-omega^{prime}left(k_{0} ight) t ight)} d k$这个推导可以看作拍（beats）的推广。

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傅里叶变换与波动方程的 {MOD}散关系

$u(x)=int_{-infty}^{infty} hat u(k) e^{i k x} d k$可以看成$u(x)$在频率空间的展开，此时$u(x)$变成了所有平面波$e^{i k x}$ 的加权求和。其中$hat u(k)$为权重，是$u(x)$在频率空间分布函数。反之亦然。 将存在相位的函数$u(x)$做傅里叶变换后，$hat u(x)$会变成复变函数，虚部与相位有关。（？） 对于波动方程$u_{tt}=R(u_{xx})$，通常直接将方程做傅里叶变换，得到 {MOD}散关系$w=w(k)$。对于一般方程我们不会去求解$hat u(x)$