模乘逆元与孙子定理

2019-04-13 17:01发布

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孙子定理也称为中国剩余定理。《孙子算经》卷下第二十六题（“物不知数”问题）：有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二。问物几何？孙子定理讲的是求解一元线性同余方程组的方法。
有人指出，孙子定理有以下5种解法：1.枚举法
2.解不定方程法
3.逐级满足法
4.化为相同除数的同余式法
5.经典同余式方程组解法据说最为简洁快速的是第4种方法。这里介绍的程序为第5种解法。要得到解x，首先需要计算模乘逆元。模乘逆元定义为：满足 ab≡1（mod m)，称b为a模乘逆元。程序中给出了两种求模乘逆元的方法，一种是穷举法，此法对于模值较大时是一种低效率的方法；另外一种是利用扩展欧几里得算法求逆元。
求得模乘逆元之后，就可以算出同余方程组的解。“物不知数”问题的一个解为23（最小值解），其解系为x=23+105k(k>=0)（105=3*5*7）。#include // 递推法实现扩展欧几里德算法 long exgcd(long a, long b, long *x, long *y) { long x0=1, y0=0, x1=0, y1=1; long r, q; *x=0; *y=1; r = a % b; q = (a - r) / b; while(r) { *x = x0 - q * x1; *y = y0 - q * y1; x0 = x1; y0 = y1; x1 = *x; y1 = *y; a = b; b = r; r = a % b; q = (a - r) / b; } return b; } // 扩展欧几里德算法求逆元 long minv(long a, long p) { long x, y; exgcd(a, p, &x, &y); return x<0 ? x+p : x; } // 试探法求逆元 long minv2(long a, long p) { long y=1, t; int i; if(a < 0) { a = a % p; a += p; } for(i=1; i
程序运行结果：a=65 m=83 x=23 x=23
a=11663 m=103 x=73 x=73
a=11227 m=107 x=40 x=40
a=11021 m=103 x=100 x=100
x=23

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