酉矩阵

2019-04-13 17:11发布生成海报

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若一n行n列的复数矩阵U满足

$U^dagger U = UU^dagger = I_n,$

其中 $I_n,$ 为n阶单位矩阵， $U^dagger ,$ 为U的共轭转置，为酉矩阵(英文: Unitary Matrix, Unitary 是归一或单位的意思)。即，矩阵U为酉矩阵，当且仅当其共轭转置 $U^dagger ,$ 为其逆矩阵:

$U^{-1} = U^dagger ,;$ 。

若酉矩阵的元素都是实数，其即为正交矩阵。与正交矩阵G不会改变两个实矢量的内积类似，

$langle Gx, Gy angle = langle x, y angle$

酉矩阵U不改变两个复矢量的内积：

$langle Ux, Uy angle = langle x, y angle$

若 $U ,$ 为n阶方阵，则下列条件等价：

酉矩阵的特征值都是模为1的复数，即分布在复平面的单位圆上，因此酉矩阵行列式的值也为1。酉矩阵是正规矩阵，由谱定理知，酉矩阵U可被分解为

$U = VSigma V^*;$

其中V是酉矩阵， $Sigma$ 是主对角线上元素绝对值为1的对角阵。对任意n，所有n阶酉矩阵的集合关于矩阵乘法构成一个群。