问题：模线性同余方程组: 　　x = a1 ( mod n1 ) 　　x = a2 ( mod n2 ) 　　　　.... 　　x = ak ( mod nk ) 给定 A ( a1, a2 , ... , ak ) , N ( n1, n2, ..., nk ) 求 X 。   通常分为两种 　　一， ( Ni, Nj ) 之间两两互质 　　二， ( Ni, Nj ) 之间不都互质     一 （ Ni, Nj ) 之间两两互质 　　定理( 见算法导论 P874 ): 　　如果 n1, n2 , ... , nk 两两互质, n = n1*n2*..*nk ,则对任意整数 a1,a2,a3..,ak , 方程组 　　　　x = ai ( mod ni ) 　　关于未知量 x 对 模n 有唯一解   从输入 ( a1, a2, ... , ak ) 计算出 a : 　  　　   　　　　定义    　　　　定义   可以得到: 　　　　　   代码模板 　　a = a[i] ( mod n[i] )   ( i = 0. 1. 2. .. k )       {  n[i] 之间两两互质 } View Code #include #include #include #include #include using namespace std; typedef long long LL; const int N = 1010; LL a[N], n[N], nn, k; LL Exgcd( LL a, LL b, LL &x, LL &y ) { if( b == 0 ){ x = 1; y = 0; return a; } LL r = Exgcd( b, a%b, x, y ); LL t = x; x = y; y = t - a/b*y; return r; } LL mul( LL a, LL b ) { LL res = 0; while( b ) { if( b&1 ) if( (res+=a) >= nn ) res -= nn; a <<= 1; if( a >= nn ) a -= nn; b >>= 1; } return res; } LL inverse( LL A, LL B ) {//求逆元 LL x, y; Exgcd( A, B, x, y ); return (x%B+B)%B; } LL China(){ scanf("%lld", &k); // k个 模同余等式 for(int i = 0; i < k; i++) scanf("%lld", &a[i] ); for(int i = 0; i < k; i++) scanf("%lld", &n[i] ); nn = 1; for(int i = 0; i < k; i++) nn *= n[i]; LL A = 0; for(int i = 0; i < k; i++) { // ci = mi * (mi^-1 mod ni ) // ai * ci LL m = nn/n[i], m1 = inverse( m, n[i] ); LL c = m*m1; A = ( A + mul( a[i], c ) ) % nn; } return A; } int main() { printf("%lld ",China() ); return 0; } 二（ Ni, Nj ) 之间不都互质　　 　　 　　　　x = ai ( mod mi )  1 <= i <= k 　　　　先考虑k==2的情况： 　　　　　　x = a1 ( mod m1 ) 　　　　　　x = a2 ( mod m2 ) 　　　方程组有解的充分必要条件是： d | (a1-a2) ，其中 d = (m1,m2)   证明如下： 　　　　必要性： 　　　　　　　　设 x 是上面同余方程组的解，从而存在整数q1,q2使得x=a1+m1*q1，x=a2+m2*q2，消去x即得a1-a2 = m2q2-m1q1。由于d= GCD(m1,m2)，故d | (a1-a2)。 　　　　充分性： 　　　　　　　　若d=GCD(m1,m2) | (a1-a2)成立，则方程m1*x + m2*y = a1-a2有解。 　　　　　　　　设解为x0,y0。那么m2*y0 = a1-a2 ( mod m1 ) 　　　　　　　　记x1 = a2+m2*y0，可以知道 x1=a2 ( mod m2 )，且x1 = a2+m2*y0 = a2 + ( a1-a2) = a1 ( mod m1 ) 　　　　　　　　所以 x1 = a2 ( mod m2 ) = a1 ( mod m1 )  　　　　　　　　所以 x = x1 ( mod GCD[m1,m2] )  　　　　　　　　另外，若x1与x2都是上面同余方程组的解，则 x1 = x2 ( mod m1 )， x1 = x2 ( mod m2 )， 　　　　　　　　由同余的性质得 x1 = x2 ( mod [m1,m2] )，即对于模[m1,m2]，同余方程组的解释唯一的。 　　　　证毕。 C++代码模板：

#include typedef long long LL; LL ExGcd( LL a, LL b, LL &x, LL &y ) { if( b == 0 ) { x=1;y=0; return a; } LL r = ExGcd( b, a%b, x, y ); LL t = x; x = y; y = t - a/b*y; return r; } LL Modline( LL r[], LL a[], int n ) { // X = r[i] ( mod a[i] ) LL rr = r[0], aa = a[0]; for(int i = 1; i < n; i++ ) { // aa*x + a[i]*y = ( r[i] - rr ); LL C = r[i] - rr, x, y; LL d = ExGcd( aa, a[i], x, y ); if( (C%d) != 0 ) return -1; LL Mod = a[i]/d; x = ( ( x*(C/d)% Mod ) + Mod ) % Mod; rr = rr + aa*x; // 余数累加 aa = aa*a[i]/d; // n = n1*n2*...*nk } return rr; } // test int main() { int n; LL r[10], a[10]; while( scanf("%d", &n) != EOF) { for(int i = 0; i < n; i++) scanf("%lld", &r[i] ); for(int i = 0; i < n; i++) scanf("%lld", &a[i] ); printf("%lld ", Modline( r, a, n ) ); } return 0; }转至http://www.cnblogs.com/yefeng1627/archive/2012/12/31/2841058.html