模的运算规则

运算规则

模运算与基本四则运算有些相似，但是除法例外。其规则如下： (a + b) % p = (a % p + b % p) % p （1） (a - b) % p = (a % p - b % p) % p （2） (a * b) % p = (a % p * b % p) % p （3） (a^b) % p = ((a % p)^b) % p （4） %运算法则  1. (a*b) %p= ( a%p) *(b%p) 乘法的 2. (a/b) %p= ( a *b^(-1)%p) 除法的 结合律： ((a+b) % p + c) % p = (a + (b+c) % p) % p （5） ((a*b) % p * c)% p = (a * b*c) % p （6）// (a%p*b)%p=(a*b)%p 交换律： (a + b) % p = (b+a) % p （7） (a * b) % p = (b * a) % p （8） 分配律： ((a +b)% p * c) % p = ((a * c) % p + (b * c) % p) % p （9） 重要定理： 若a≡b (% p)，则对于任意的c，都有(a + c) ≡ (b + c) (%p)；（10） 若a≡b (% p)，则对于任意的c，都有(a * c) ≡ (b * c) (%p)；（11） 若a≡b (% p)，c≡d (% p)，则 (a + c) ≡ (b + d) (%p)，(a - c) ≡ (b - d) (%p)， (a * c) ≡ (b * d) (%p)，(a / c) ≡ (b / d) (%p)； （12）   乘法逆元： 定义： 满足a*k≡1 (mod p)的k值就是a关于p的乘法逆元。 为什么要有乘法逆元呢？ 当我们要求（a/b） mod p的值，且a很大，无法直接求得a/b的值时，我们就要用到乘法逆元。 我们可以通过求b关于p的乘法逆元k，将a乘上k再模p， 即(a*k) mod p。其结果与(a/b) mod p等价。 证：（其实很简单。。。）  根据b*k≡1 (mod p)有b*k=p*x+1。 k=(p*x+1)/b。  把k代入(a*k) mod p，得： (a*(p*x+1)/b) mod p  =((a*p*x)/b+a/b) mod p  =[((a*p*x)/b) mod p +(a/b)] mod p  =[(p*(a*x)/b) mod p +(a/b)] mod p  //p*[(a*x)/b] mod p=0 所以原式等于：(a/b) mod p    应用请看POJ1845的解析：   (（a^k-1）/x)%mod=((((a%mod)^k -1)%mod)*x^-1)%mod; 不知道这个公式是否成立，先这么用着了。。。。。orz    转载： 在计算一个很大的组合数modP时会用到乘法逆元。即把/a变成*(f(a))，其中f(a)为a在模P意义下的乘法逆元，即a*f(a) mod P=1 计算乘法逆元有两种方法，扩展gcd或基于欧拉公式的快速幂取模。 ------------------------------------------------------------------------------------------------------ 扩展gcd就是求解方程ax=1(mod P)的最小整数解. 设ax=1+y*p，即a*f(a,p)=1+p*g(a,p)，把x和y的解看成关于a,p的函数。 a>=p时，设a=p*k+r，则式子变成： p*k*f(a,p)+r*f(a,p)=1+p*g(a,p)，移项，得r*f(a,p)=1+p*(g(a,p)-k*f(a,p)) 那么就得到f(a mod p,p)=f(a,p)，g(a mod p,p)=g(a,p)-[a/p]*f(a,p); p>=a时差不多一个意思。 所以把f,g设成全局变量，像普通gcd那样做，即时更新f,g即可。 ---------------------------------------------------------------------------------------------------- 设欧拉函数phi(x)=在[1,x-1]中与x互质的数字个数。那么欧拉公式： a^phi(P)=1(mod P) 两边同除a,即可得到a^(phi(P)-1) mod P即为a在模P意义下的乘法逆元。 特例：
如果P是质数，那么phi(P)=P-1.即a的乘法逆元为a^(P-2)，快速幂即可。   #include using namespace std; int extended_gcd(int a,int b, int &x, int &y) { if (b == 0) { x = 1; y = 0; return a; } else { int gcd = extended_gcd(b, a % b, x, y); int t=x%mod; x=y%mod; y=((t-a/b*x)%mod+mod)%mod; return gcd; } } int main() { int i, x, y; const int P = 13; for (i = 1; i < P; ++i) { extended_gcd(i, P, x, y); while (x < 0) x += P; printf("1 div %d = %d ", i, x); } return 0; }