二进制原码、反码、补码 【原创文章，转载请保留或注明出处：】 1.基础概念和计算方法 在探求为何机器要使用补码之前, 让我们先了解原码, 反码和补码的概念.对于一个数, 计算机要使用一定的编码方式进行存储. 原码, 反码, 补码是机器存储一个具体数字的编码方式. 1.1模的概念 把一个计量单位称之为模或模数
补码的模为10000 0000
反码的模为1000 0000(从反码的定义也能够知道,即反码的运算不涉及符号位)
模的解释
在日常生活中,有许多化减为加的例子。例如,时钟是逢12进位,12点也可看作0点。
当将时针从10点调整到5点时有以下两种方法:
（1）时针逆时针方向拨5格,相当于做减法: 10－5＝5
（2）时针顺时针方向拨7格,相当于做加法:10＋(12-5)＝12＋5＝5    (模为 12) 同理，计算机的运算部件与寄存器都有一定字长的限制（假设字长为8），因此它的运算也是一种模运算。当计数器计满8位也就是256个数后会产生溢出，又从头开始计数。产生溢出的量就是计数器的模，显然，8位二进制数，它的模数为28=256。在计算中，两个互补的数称为“补码”。 1.2原码 原码就是符号位加上真值的绝对值, 即用第一位表示符号, 其余位表示值. 比如如果是8位二进制: [+1]原 = 0000 0001 [-1]原 = 1000 0001 第一位是符号位. 因为第一位是符号位, 所以8位二进制数的取值范围就是: [1111 1111 , 0111 1111] 即 [-127 , 127] 原码是人脑最容易理解和计算的表示方式 1.3反码 反码的表示方法是: 正数的反码是其本身 负数的反码是在其原码的基础上, 符号位不变，其余各个位取反. [+1] = [00000001]原 = [00000001]反 [-1] = [10000001]原 = [11111110]反 可见如果一个反码表示的是负数, 人脑无法直观的看出来它的数值. 通常要将其转换成原码再计算 1.4补码 补码的表示方法是: 正数的补码就是其本身 负数的补码是在其原码的基础上, 符号位不变, 其余各位取反, 最后+1. (即在反码的基础上+1) [+1] = [00000001]原 = [00000001]反 = [00000001]补 [-1] = [10000001]原 = [11111110]反 = [11111111]补 对于负数, 补码表示方式也是人脑无法直观看出其数值的. 通常也需要转换成原码在计算其数值.  1.5其他概念
由于计算机中符号和数字一样,都必须用二进制数串来表示,因此,正负号也必须用0、1来表示。
用最高位0表示正、1表示负, 这种正负号数字化的机内表示形式就称为“机器数”,
而相应的机器外部用正负号表示的数称为“真值”,将一个真值表示成二进制字串的机器数的过程就称为编码。 2.为何要使用原码、反码和补码 现在我们知道了计算机可以有三种编码方式表示一个数. 对于正数因为三种编码方式的结果都相同: [+1] = [00000001]原 = [00000001]反 = [00000001]补 所以不需要过多解释. 但是对于负数: [-1] = [10000001]原 = [11111110]反 = [11111111]补 可见原码, 反码和补码是完全不同的. 既然原码才是被人脑直接识别并用于计算表示方式, 为何还会有反码和补码呢? 首先, 因为人脑可以知道第一位是符号位, 在计算的时候我们会根据符号位, 选择对真值区域的加减. (真值的概念在本文最开头). 但是对于计算机, 加减乘数已经是最基础的运算, 要设计的尽量简单. 计算机辨别"符号位"显然会让计算机的基础电路设计变得十分复杂! 于是人们想出了将符号位也参与运算的方法. 我们知道, 根据运算法则减去一个正数等于加上一个负数, 即: 1-1 = 1 + (-1) = 0 , 所以机器可以只有加法而没有减法, 这样计算机运算的设计就更简单了. 于是人们开始探索 将符号位参与运算, 并且只保留加法的方法. 首先来看原码: 计算十进制的表达式: 1-1=0 1 - 1 = 1 + (-1) = [00000001]原 + [10000001]原 = [10000010]原 = -2 如果用原码表示, 让符号位也参与计算, 显然对于减法来说, 结果是不正确的.这也就是为何计算机内部不使用原码表示一个数. 为了解决原码做减法的问题, 出现了反码: 计算十进制的表达式: 1-1=0 1 - 1 = 1 + (-1) = [0000 0001]原 + [1000 0001]原= [0000 0001]反 + [1111 1110]反 = [1111 1111]反 = [1000 0000]原 = -0 发现用反码计算减法, 结果的真值部分是正确的. 而唯一的问题其实就出现在"0"这个特殊的数值上. 虽然人们理解上+0和-0是一样的, 但是0带符号是没有任何意义的. 而且会有[0000 0000]原和[1000 0000]原两个编码表示0. 于是补码的出现, 解决了0的符号以及两个编码的问题: 1-1 = 1 + (-1) = [0000 0001]原 + [1000 0001]原 = [0000 0001]补 + [1111 1111]补 = [0000 0000]补=[0000 0000]原 这样0用[0000 0000]表示, 而以前出现问题的-0则不存在了.而且可以用[1000 0000]表示-128: (-1) + (-127) = [1000 0001]原 + [1111 1111]原 = [1111 1111]补 + [1000 0001]补 = [1000 0000]补 -1-127的结果应该是-128, 在用补码运算的结果中, [1000 0000]补 就是-128. 但是注意因为实际上是使用以前的-0的补码来表示-128, 所以-128并没有原码和反码表示.(对-128的补码表示[1000 0000]补算出来的原码是[0000 0000]原, 这是不正确的) 使用补码, 不仅仅修复了0的符号以及存在两个编码的问题, 而且还能够多表示一个最低数. 这就是为什么8位二进制, 使用原码或反码表示的范围为[-127, +127], 而使用补码表示的范围为[-128, 127]. 因为机器使用补码, 所以对于编程中常用到的32位int类型, 可以表示范围是: [-231, 231-1] 因为第一位表示的是符号位.而使用补码表示时又可以多保存一个最小值. 而且实际上并不是从10000001到11111111依次表示-1到-127，而是刚好相反的，从10000001到11111111依次表示-127到-1 用补码表示负数时：负数X用2^n - |X|来表示，其中n为机器的字长 当n=8时，[-1]补 = 2^8 - 1 = 11111111, [-127]补 = 2^8 - 127 = 100000001 [-0]补=2^8=00000000在补码表示法中只有一种表示，即00000000 3.二进制编码 1字节 = 8位，所以它能表示的最大数当然是8位都是1（既然2进制的数只能是0或1,如果是我们常见的10进制，那就8位都为9） 1字节的二进制数中，最大的数：11111111。 这个数的大小是多少呢？让我们来把它转换为十进制数。 无论是什么进制，都是左边是高位，右边是低位。10进制是我们非常习惯的计数方式，第一位代表有几个1（即几个100），第二位代表有几个10（即几个101），第三位代表有几个100（即有几个102）…，用小学课本上的说法就是：个位上的数表示几个1，十位上的数表示向个10，百位上的数表示几个100…… 同理可证，二进制数则是：第1位数表示几个1 （20），第2位数表示几个2（21），第3位数表示几个4（22），第4位数表示向个8(23)…… 以前我们知道1个字节有8位，现在通过计算,我们又得知：1个字节可以表达的最大的数是255，也就是说表示0~255这256个数。 那么两个字节（双字节数）呢？双字节共16位。 1111111111111111，这个数并不大，但长得有点眼晕，从现在起，我们要学会这样来表达二制数： 1111 1111 1111 1111,即每4位隔一空格。 双字节数最大值为： 1 * 215 + 1 *214 + 1* 213 + 1 * 212 + 1 * 211 + 1 * 210 + …… + 1 * 22 + 1 * 21 + 1* 20 = 65535 很自然，我们可以想到，一种数据类型允许的最大值，和它的位数有关。具体的计算方法方法是，如果它有n位，那么最大值就是： n位二进制数的最大值：1 * 2(n-1) + 1 * 2(n-2) + ... + 1 * 20 4.原码、补码和反码的进一步说明
在计算机里如何表示整数？
整数有无穷多个，在计算机里，通常我们只能表示出其中的一部分。假如我们用 n 个比特来表示一个整数。1 个比特有 2 个状态，n 个比特就有 2^n 个状态，把这 2^n 个状态的集合记为 A. 显然，用 A，我们可以与 n 个整数建立起一一对应。我们还希望 A 所表示的整数能够象整数那样地运算---整数，象整数那样运算，这是不是一句废话？数学中的整数相加，仍然是一个整数，但 A 里两个整数相加，我们却无法保证它们的和仍在 A 中，用代数的术语来讲，叫做 "不满足封闭性"，这是个很坏的性质。
4.1补码
不过数学上有处理这个问题的成熟方案，如果我们能后退一步，让 A 表示的是模 |A| 的剩余类，则加法运算马上就封闭了。而且这个时候 A 不仅可以与 2^n 个整数对应起来，而且，在某种意义下，可以与整数环 Z 对应起来。用代数的观点，这个 "某种意义"就是所谓的同态。
整数有两种封闭运算，一种是加法，另一种是乘法。A 作为模 2^n 的剩余类，也有加乘两种运算。定义 Z 到 A 的映射 
f(x) = m mod 2^n
f 是一个同态，也就是说，f 满足这样的良好性质：
f(x+y) = f(x) + f(y) 
f(xy) = f(x)f(y)
我们通常使用 10 进制数，在这个进制下，f(x) 并不容易计算，但是在计算机里，本质的表示是二进制，于是 f(x) 的运算变得出奇地简单。如果 x 小于 2^n，则 x 的 2 进制表示就是 f(x)，如果 x>=2^n，则要求其模 2^n 的余数，这恰好是 x 二进制表示的最低 n 位，换句话说，简单地把高位抛弃就行了。顺便指出，f(0)=0, f(1)=1.
我们来看一看 A 中的加法，f(x)+f(y), 若结果小于 2^n，则运算自然封闭，如果 f(x)+f(y) >= 2^n，则取其最低的 n 位，用电路实现时，可以简单地扔掉高位，保留低位。
到目前为止，一切都很好，但是减法怎么办呢？对整数运算而言，减去 a 不过是加上 a 的相反数的同义语。只要对 A 中的每个元素，能容易计算出其相反数就可以了。理论上 f(x) 的相反数就是
f(-f(x))
不过这个好像不容易计算，因为我们现在并没有给出 A 中"负数"的概念，事实上 A 是模 2^n 的剩余类环，根本就没有所谓的负数。
这个困难也是容易处理的。作为 f(x) 的相反数，-f(x) 应该满足这样的性质：
-f(x) + f(x) = f(0) = 0
所以我们只要有在 A 中找一个元素，使得它与 f(x) 的和是 0 就可以了。但是 f(x) 本身可能含有很多比特 1，加上一个数能使它们变成 0 吗？ 考虑到 A 中的加法要模去一个 2^n，这个问题实际上很好办，只要让求出的和是 2^n 就可以了。所以难发现 -f(x) 就是把 f(x) 的比特"取反"---即 0 变 1， 1 变 0，并加上 1 就得到了 -f(x)。容易验证：
f(-x) = - f(x).
现在我们回过头来看前面的一句话，红 {MOD}部分：
"我们通常使用 10 进制数，在这个进制下，f(x) 并不容易计算，但是在计算机里，本质的表示是二进制，于是 f(x) 的运算变得出奇地简单。如果 x 小于 2^n，则 x 的 2 进制表示就是 f(x)，如果 x>=2^n，则要求其模 2^n 的余数，这恰好是 x 二进制表示的最低 n 位，换句话说，简单地把高位抛弃就行了。顺便指出，f(0)=0, f(1)=1."
红 {MOD}那句话简直是胡扯，因为没有考虑到负数的情况。但 f(x) 容易计算这句话并没有错，因为当 x 为负数时，我们可以利用 f(x) = -f(-x)。 由于 -x 是正的，f(-x) 容易计算，之后 -f(x) 也不过是取反加 1 而已。
好，到目前为止---在数学世界里，简直是完美的。但是回到现实， A 里头真的没有负数，怎么办？整数能比较大小，A 里头的数又怎么办？
这时候，我们可以用一个不太完美的方案，把 A 里头的元素再映射回整数 Z 中，如果只需要无符号的数，则变换为
g(u) = u,    0<= u <2^n-1
其实就是不把 A 中的元素模 2^n 的剩余类，而直接看成整数。不过这时的运算就要考虑溢出了。如果是无符号的情形，运算的结果仍是模 2^n 的余数，外加一个溢出标志。
如果要考虑负数，如果没有特别的理由，则要求正负个数大致相等是自然的。可以考虑让 0 代表 0， 1~2^{n-1}-1 代表正数，2^{n-1}+1～2^n-1 代表负数。丢掉一个 2^{n-1} 是因为希望正数和负数刚好配对，若 u 代表负数，则其落在 2^{n-1}+1~2^n-1 中，但它代表负几呢？当然是负 -u 了。从两个相反数之和为 0 ,或 2^n 的观点，-u 就是 2^n-u, 而 u 则是 -(-u) 即 u-2^n。
2^{n-1} 是个麻烦，在 A 中，它的相反数就是自己，把它当正数，负数都不大合理。出于完整性考虑，随便选一个好了。在这里我们让 2^{n-1} 为负数，理由是它的最高位是 1，跟其它"负数"长得比较象。
换个角度看，模 n 的剩余类，或者余数为 0,1,...,2^{n-1}, 2^{n-1}+1, ..., 2^n-1. 这些余数也可以表示为：
0,1~2^{n-1}, 2^n-(2^{n-1}-1), ..., 2^{n}-1
我们刚才所做的就是把上面数列中 2^{n} -r （1<= r<= 2^{n-1}-1）类型的的数对应为负数 -r 而已。用代数的术语，就是在陪集中选取了不同的代表元。
于是我们定义 A 到 Z 的变换，使得
当 0<= u <= 2^{n-1} 时， g(u) = u 
当 2^{n-1} 时，g(u)=u - 2^n
当然，这时运算起来有可能溢出,但结果仍可以看成模 2^n 的余数，外加一个溢出标记。
上面所说的就是补码。
4.2反码
抽象地看，反码与补码只有一个区别，同样的 n 比特状态集合 A，反码让这些元素表示模 2^n-1 的剩余类,而补码模 2^n。于是从 Z 到 A 的映射定义为
f(x) = x mod 2^n-1
不过且慢，A 的大小是 2^n，而模 2^n-1 的余数只有 2^n-1 个？ 是的，这是反码一个不完美的地方，它浪费了全 1 的码字，不过我们可以把全 1 的和全 0 的数看成一样的。
f 同样是个环同态，满足
f(x+y) = f(x) + f(y) 
f(xy) = f(x)f(y) 
俄且 f(0)=0, 或者全 1， f(1) = 1.
f(x) 可以计算如下，设 
x = 2^n q + r,
则由于 2^n = 1 mod (2^n-1)，所以
x = q + r (mod 2^n -1)
若然 q+r 仍大于等于 2^n，则递归使用上述步骤。当然也可以直接去模 2^n-1，但上面的处理充分利用了二进制表示。而且当 x 为负数时，我们有两外的处理方法，见后面相反数的部分。
f(x) 能求出后，A 中的加法运算和乘法运算也就容易处理了，若 f(x)+f(y)<2^n，则不作特别处理，如果 f(x)+f(y) >=2^n，则结果为 f(f(x)+f(y)) 即把第 n+1 比特加到最低比特上。对于乘法，f(x)f(y) 可以多出n-1 位，处理方法是把第 n+i 比特加到第 i 比特上，或者说把高出 n 位的比特都右移 n 位并加在低位上, 如果仍然越界，则重复上述步骤。从这里可以看到反码的一个弱点，它的越界处理比较麻烦，而补码直接把越界的位丢掉就是了。
A 中的相反数如何求？ -f(x) + f(x) = f(0) = 0, 加出一个全零比较难办，但加出一个全 1 不是问题，所以我们可以让 -f(x) 为 x 的取反，即 0 变成 1， 1 变成 0。于是求相反数的问题解决了。
同样，我们可以考虑在反码中引入正数，负数，这个与补码的类似，这里就不多说了。
有趣的是 2^n 几乎不可能是素数，而 2^n-1 有可能. 2^n-1 形的素数称为梅森素数。如果 2^n-1 是素的，则 A 中非零元素都可求逆。那么对应于 32 位和 64 位计算机的，将会是 31 位计算机和 61 位计算机，看上去很不错嘛，期待中。
4.3原码
这个没有什么可说的，2^n 个状态直接表示 0～2^n-1,如果要引入负数，则让最高位为 1 的表示负数, 所以 0x 代表 x，而 1x 代表 -x.
原码最好的地方是它简单，最不好的地方在于它没有良好的代数结构。 5.补码的原理及随想 
越早在课堂上学的东西，越给我以简单的印象，忘得也越快。而事实上，它们往往是最富有智慧的，即便在我没忘的时候，也没有深刻地理解它们。 
嘛是补码？不少书上扯一堆“取反加1”之类的规则，很不着重点，我觉得核心在于： 
对于范围为[0,M)的整数计量系统，其模为M。和为M的两个数互为补数。 
如果有两个整数a,b∈[0, M)，那么f(a-b)==f(a+c)，其中c= M-b，是b的补码, 
f是一个映射，定义为： 
当0 <=x < M时,f(x)=x; 
当x>= M时,f(x)=x % M;-------->此时就要消除溢出 
当x <0时,f(x)=f(M +x). 
其中%为取余运算(效果同编程语言中的取模运算)。 
在计算机中，f是由溢出隐式实现的，所以天生就有a-b==a+c。这就把减运算转化成了加运算。 
于是，为了便于执行减运算，计算机就把-b表示为其补码c。 
假设机器字有n位，那么M=2n，c=2n-b。 
人在纸上怎么计算2n-b的二进制值？2n的原码就是1后面跟了n个0，直接用它减b的原码不方便，先用2n-1的原码（n个1）减b的原码，得到的结果加上1就是2n-b的值了——这就是“取反加1”的由来。 
6.有符号数，无符号数
同样是年纪和工资，前者不需要有负值，但后者可能需要——至少所有的老板都这样认为。那么，负数在计算机中如何表示呢？这一点，你可能听过两种不同的回答。 一种是教科书，它会告诉你：计算机用“补码”表示负数。可是有关“补码”的概念一说就得一节课，这一些我们需要在第6章中用一章的篇幅讲2进制的一切。再者，用“补码”表示负数，其实一种公式，公式的作用在于告诉你，想得问题的答案，应该如何计算。却并没有告诉你为什么用这个公式就可以和答案？ 另一种是一些程序员告诉你的：用二进制数的最高位表示符号，最高位是0，表示正数，最高位是1，表示负数。这种说法本身没错，可是如果没有下文，那么它就是错的。至少它不能解释，为什么字符类型的-1用二进制表示是“1111 1111”(16进制为FF)；而不是我们更能理解的“1000 0001”。（为什么说后者更好理解呢？因为既然说最高位是1时表示负数，那1000 0001不是正好是-1吗？）。 让我们从头说起。 6.1你自已决定是否需要有正负。 就像我们必须决定某个量使用整数还是实数，使用多大的范围数一样，我们必须自已决定某个量是否需要正负。如果这个量不会有负值，那么我们可以定它为带正负的类型。 在计算机中，可以区分正负的类型，称为有符类型，无正负的类型（只有正值），称为无符类型。 数值类型分为整型或实型，其中整型又分为无符类型或有符类型，而实型则只有符类型。 字符类型也分为有符和无符类型。 比如有两个量，年龄和库存，我们可以定前者为无符的字符类型，后者定为有符的整数类型。 6.2使用二制数中的最高位表示正负。 首先得知道最高位是哪一位？1个字节的类型，如字符类型，最高位是第7位，2个字节的数，最高位是第15位，4个字节的数，最高位是第31位。不同长度的数值类型，其最高位也就不同，但总是最左边的那位（如下示意）。字符类型固定是1个字节，所以最高位总是第7位。 (红 {MOD}为最高位) 单字节数： 1111 1111 双字节数： 1111 1111 1111 1111 四字节数： 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 当我们指定一个数量是