K倍区间

问题描述
　　给定一个长度为N的数列，A1, A2, … AN，如果其中一段连续的子序列Ai, Ai+1, … Aj(i <= j)之和是K的倍数，我们就称这个区间[i, j]是K倍区间。
　　你能求出数列中总共有多少个K倍区间吗？ 输入格式
　　第一行包含两个整数N和K。(1 <= N, K <= 100000)
　　以下N行每行包含一个整数Ai。(1 <= Ai <= 100000)
输出格式
　　输出一个整数，代表K倍区间的数目。
样例输入
5 2
1 2 3 4 5
样例输出
6 思路： 暴力两遍for循环的时间复杂度是O(n^2)，肯定会超时。区间和一般会用前缀和或者后缀和处理一遍，这样一遍下来才O(n)。接下来就是处理 k的倍数的问题。求前缀和的同时取模，这样模数为0的就是满足条件的答案。

( y-x )%k==0 <==> y%k-x%k==0 , 可以得出结论，相同模数的区间一定是k的倍数

如果模数为d的有 t 个，那么这样的区间就是 t∗(t−1)2" role="presentation">t∗(t−1)2$\frac{t\ast (t-1)}{2}$。注意这里相乘会爆int最后的答案就是 ∑i=0k−1ci∗(ci−1)2" role="presentation">∑k−1i=0ci∗(ci−1)2$\frac{\sum _{i=0}^{k-1}{c}_i\ast (c_i-1)}{2}$ 要注意的是，模数为0的 a[0]要加一，因为这a[0] 个数本身就是满足条件的。 ( (x+1)∗x2−x∗(x−1)2" role="presentation">(x+1)∗x2−x∗(x−1)2$\frac{(x+1)\ast x}{2}-\frac{x\ast (x-1)}{2}$==x )
代码： #include #include #include #define LL long long using namespace std; const int maxn=1e5+10; int a[maxn]; int main() { int n,k,x; LL sum; while(scanf("%d%d",&n,&k)!=EOF) { sum=0; memset(a,0,sizeof(a)); for(int i=1;i<=n;++i) { scanf("%d",&x); sum=(sum+x)%k; a[sum]++; } if(a[0]) a[0]++; // x*(x+1)/2-(x-1)*x/2==x %k==0本身就是k的倍数 LL ans=0; for(int i=0;iif(!a[i]) continue; ans=ans+(a[i]*1ll*(a[i]-1)/2); } printf("%lld ",ans); } return 0; }