原根

2019-04-13 20:47发布

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原根

原根，是一个数学符号。设m是正整数，a是整数，若a模m的阶等于φ(m)，则称a为模m的一个原根。

定义

原根是一种数学符号，设m是正整数，a是整数，若a模m的阶等于φ(m)，则称a为模m的一个原根。（其中φ(m)表示m的欧拉函数） 假设一个数g是P的原根，那么g^i mod P的结果两两不同，且有 1

性质

原根具有以下性质： （1）可以证明，如果正整数(a,m) = 1和正整数 d 满足a^d≡1(mod m)，则 d 整除 φ(m)。因此Ordm(a)整除φ(m)。在例子中，当a= 3时，我们仅需要验证 3 的 1 、2、3 和 6 次方模 7 的余数即可。 （2）记δ = Ordm(a)，则a^1，……a^(δ-1)模 m 两两不同余。因此当a是模m的原根时，a^0,a^1，……a^(δ-1)构成模 m 的简化剩余系。 （3）模m有原根的充要条件是m= 1,2,4,p,2p,p^n，其中p是奇质数，n是任意正整数。 （4）对正整数(a,m) = 1，如果 a 是模 m 的原根，那么 a 是整数模n乘法群（即加法群 Z/mZ的可逆元，也就是所有与 m 互素的正整数构成的等价类构成的乘法群）Zn的一个生成元。由于Zn有 φ(m)个元素，而它的生成元的个数就是它的可逆元个数，即 φ(φ(m))个，因此当模m有原根时，它有φ(φ(m))个原根。

原根存在条件

原根存在的条件有以下几个： 定理一：设p是奇素数，则模p的原根存在；  定理二：设g是模p的原根，则g或者g+p是模    的原根； 定理三：设p是奇素数，则对任意 模  的原根存在； 定理四：设   1，则g是模   的一个原根，则g与g+   中的奇数是模2  的一个原根。

 

简而言之： a是p的原根满足：p-1的所有质因子p1,p2,..,pk，都满足a^((p-1)/pi)%p!=1   练习： 51Nod_1135 原根

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