点积或点乘(Dot Product)

设向量a(x1,y1)，向量b(x2,y2)，二者的夹角θ，二者点乘的结果 d。 将两个向量的每个分量对应相乘，然后将乘积结果相加，得出的结果，即：

d = x1*x2 + y1*y2;

向量的点击运算的结果是一个标量。 几何意义：

d > 0, θ < 90，点积值d大于0，夹角θ小于90度；

d < 0, θ > 90，点积值d小于0，夹角θ大于90度；

d = 0, θ = 90，点积值d等于0，夹角θ等于90度。

可以通过两个向量的点积来判断两个向量之间的夹角情况:

cosθ = dot(a,b)

首先从三角形余弦定理的推导开始，为后面的推导做基础准备。

设三角形的三个顶点:

A(ax,ay,az)，B(bx,by,bz)，C(cx,cy,cz)

设向量:

AC(cx-ax,cy-ay,cz-az)

AB(bx-ax,by-ay,bz-az)

BC(cx-bx,cy-by,cz-bz)

设三角形ABC:

角α是向量AB,AC的夹角

角β是向量BC,BA的夹角

角γ是向量CA,CB的夹角

三角形的三条边分别为: a,b,c(即三条向量的模长|AC|=b,|AB|=c,|BC|=a)
在c上做高 d，这条高d将c边一分为二，设高d与边c的交点为D，则:

cos(α)=|AD|/|AC|;

cos(β)=|BD|/|BC|;

由于

c = |AD|+|BD|

|AD|=cos(α)*|AC|=cos(α)*b

|BD|=cos(β)*|BC|=cos(β)*a

所以

c =cos(β)*a+cos(α)*b；

将等式两边均乘以c，得到：

c^2 = ac*cos(β)+bc*cos(α)(1)

以上同样步骤，可以得到：

a^2 = ac*cos(β)+ab*cos(γ)

b^2 = bc*cos(α)+ab*cos(γ)

将上面两式相加，得到：

a^2 + b^2 = ac*cos(β) + ab*cos(γ) + bc*cos(α) + ab*cos(γ)

= [ ac*cos(β) + bc*cos(α)]+[ab*cos(γ) + ab*cos(γ)]

结合(1)，推导出：

a^2 + b^2 = c^2 + 2ab*cos(γ)

c^2 = a^2 + b^2 -2ab*cos(γ)

同理，可以推导出:

a^2 = b^2 + c^2 -2bc*cos(α)(2)

b^2 = a^2 + c^2 -2ac*cos(β)

在三角形中ABC中，向量AB的模长是c；向量AC的模长是b；向量BC的模长是a。

|AB| = c

|AC| = b |BC| = a

|BC| = sqrt[(cx-bx)*(cx-bx)+(cy-by)*(cy-by)+(cz-bz)*(cz-bz)] 

|BC|^2 =(cx-bx)*(cx-bx)+(cy-by)*(cy-by)+(cz-bz)*(cz-bz)
由此推导出：

a^2 = |BC|^2 = BC*BC(3)

因为向量:

BC = AC-AB(4)

所以:

|BC|^2 = (AC-AB)*(AC-AB)

|BC|^2 = AC*AC+AB*AB-2*AB*AC

|BC|^2 = |AC|^2 + |AB|^2 - 2*AB*AC(5)

结合上面的推导(3):

(2) = (5)

即:

|BC|^2 = |AC|^2 + |AB|^2 - 2*|AB|*|AC|*cos(α)

得:

|AB|*|AC|*cos(α) = (|AC|^2 +|AB|^2 - |BC|^2)/2

由(4)代入，得:

|AB*|AC|*cos(α) = (|AC|^2+|AB|^2-|(AC-AB)|^2)/2

将向量AC(cx-ax,cy-ay,cz-az)，AB(bx-ax,by-ay,bz-az)，BC(cx-bx,cy-by,cz-bz)代入:

|AB*|AC|*cos(α) ={(cx-ax)^2+(cy-ay)^2+(cz-az)^2+(bx-ax)^2+(by-ay)^2+(bz-az)^2 - 

[((cx-ax)-(bx-ax))^2+((cy-ay)-(by-ay))^2+((cz-az)-(bz-az))^2]}/2

合并去括号:

|AB|*|AC|*cos(α) =(cx-ax)(bx-ax)+(cy-ay)(by-ay)+(cz-az)(bz-az)

 =(cx-ax,cy-ay,cz-az) * (bx-ax,by-ay,bz-az)

即:

|AB|*|AC|*cos(α) =AC * AB

cos(α) = AC * AB / |AB|*|AC|

向量AB，AC经过标准化后，模长为1，|AB|*|AC| = 1*1 =1,则:

cos(α) = AC*AB/1 = AC*AB;

推导出:

cos(α) =AC*AB;

假设a和b都是二维向量，θ1是a与x轴的夹角，θ2是b与x轴的夹角，向量a与b的夹角θ等于θ1 - θ2.、

a*b = ax*bx + ay*by 

=(|a|*sinθ1)*(|b|*sinθ2) +(|a|*cosθ1)*(|b|*cosθ2)

=|a||b|(sinθ1*sinθ2+cosθ1*cosθ2)

=|a||b|(cos(θ1-θ2))

=|a||b|cosθ

cosθ = a*b/|a||b|

标准化之后的向量a,b的摸|a|、|b|均为1:

cosθ = a*b