负反馈的稳定性

2019-04-14 08:08发布

负反馈的稳定性是一个很陈旧的内容。但实际上真正理清楚并不简单。最突出的一点是,模电教材上喜欢讲:负反馈系统传递函数H(s)=frac{A(s)}{1+A(s)F},如果环路增益LP=A(s)F满足相位为180°,幅度为1,那么分母就是0,传函变成无穷大,电路开始自激振荡。 如此说来,只要相位不是180°,或者180°时模值不是1,电路就是数学成立的。那么还要求45°或者60°的PhaseMargin干什么呢?可惜的是多数书本对这一点含糊其辞,或者根本没有提。特别是国内的教材很多都是抄袭,更不会对这些问题讲的很细了。 1、H(s)是什么东西? 很多时候我们直接对电路做Laplace变换,得到一个系统函数。什么是系统函数? 系统函数是系统对冲激信号的响应。而基于线性和时不变特性,任何信号可以通过其自身和冲激卷积得到自己,频域上就是自身的Laplace变换和系统函数相乘。这样就得到了该系统对任意输入的输出。 电路分析里面有一块叫动态性能。这和基础教材上的交流分析是两个概念。无论直流还是交流分析,考虑的都是单一频率上的事情。动态特性是考虑整个函数的全频段响应。一种典型的测试方式是加一个阶跃信号,看输出的振荡情况。(好像国内本科教的模电很少有把动态性能单独讲的) 2、稳定性的本质: 谈论稳定性,本质是BIBO:有限的输入得到有限的输出。如果不稳定,那么系统输出就会无限增长,直到达到器件的物理限制。对于放大器,就是输出信号产生自激。自激时幅度达到电源轨,而频率由电路决定,不受信号控制。 负反馈放大为什么会自激?原因在于H(s)的分母上出现了右半平面的极点。说明系统的自然响应包含随时间增长的成分。也就是说,特征方程1+A(s)F=0的根落在了右半平面。 3、由此得到判断稳定性最直接的办法:{color{Red} root} {color{Red} locus} 根轨迹 根轨迹是特征方程里面某一参数变化时根在复平面上的变动情况。对于上述经典负反馈电路的特征方程,可以找到两个比较常用的设计参数(也可以称自由度):FA(0)F很容易理解,就是反馈系数,表示有多少输出被送回输入去比较了。A(0)表示放大器的直流增益。A(s)=A(0)cdot frac{P(s)}{N(s)},其中P(s),N(s)都是多项式,一般分母N(s)次数高于分子P(s),体现了放大器的低通特性。 A(0)变化或者F变化时,1+A(s)F=0的根会跟着变化。其轨迹如果进入右半平面,表明此时放大电路会产生自激,对应的A(0)F是不合适的。 4、工程中总是倾向于删繁就简。调节FA(0)两个自由度的目的都是为了改变根的位置实现稳定。相比之下,A(0)涉及到放大管自身,改变A(0)意味着工作点的变化甚至电路结构变化,对P(s),N(s)都会发生影响。所以调节A(0)这个事情,一旦电路“做死”以后是不可能的。 调节F则相对简单。只要替换外部的反馈网络(一般是几个无源元件),就可以改变。而且其频率特性较放大器要来的稳定。 更主要的一点是:负反馈的价值在于利用F来确定放大倍数,从而提高了电路的线性度。所以F是更重要的一个自由度。 5、于是就产生这样一个设计:有一个放大电路,它有一个固定的A(s),同时有一个可以改变的F。 现在我们的想法是:能不能保证,在所有的{color{Red} F}下,电路都是稳定的?这就相当于放大器可以通过负反馈得到任何我想要的放大倍数,而不会自激。否则就意味着电路只能进行某些倍数的放大,而另一些放大倍数将使电路不稳定。这就需要对A(s)的特性做出一定要求。 问题是:A(s)应该满足什么样的要求? 6、回头来观察特征方程:1+A(s)F=0。我们注意到,当方程成立时,有A(s)F=-1。说明这一项相位转移了180°,而幅度下降到1了。所以定义这一项叫环路增益。 所以我们想到了另一种观察自激是否存在的方法:Nyquist chart,就是频率omega从0到无穷大变化时A(jomega )F的变化情况。注意,这里把s替换成了jomega,表示衡量系统的频率特性。如果对A(jomega )F画出对应的Nyquist chart,那么会发现其大致路径是“绕圈”。其中我们关注的焦点是(-1,0)。只要圆圈通过这个点,意味着就有一个频率使电路自激。 由于F是一个可变的参数,所以要满足所有的F都不会让电路自激。注意F的频率特性是忽略的,A(jomega )FF变化时,其Nyquist chart的形状是一簇相似的曲线,只不过围绕原点中心进行了缩放。所以我们保证F=1下,A(jomega )不通过(-1,0)点即可满足要求。 进一步地,我们不但要满足A(jomega )不通过(-1,0),还要满足曲线整个不越过x=-1这根线。否则,一旦F<1,曲线一收缩,依然会经过(-1,0)。 7、Nyquist chart是一个平面化的曲线图,把相位和幅度信息包含在一张图里面了。如果拆开并运用对数坐标轴和渐近线近似加以简化,就得到了更便于工程实用的Bode Plot。 波特图的绘图原则不再赘述。只是强调:Bode Plot里面的极点和零点,特别是“极点”这个称呼,并不准确。因为这个点只表示近似中的拐角点,和H(s)的极点是两码事。一般和A(s)的极点也没有必然联系。(一般A(s)极点在左半平面,所以Bode Plot上的极点和A(s)的极点是对称的。) 利用Bode Plot判断自激的思路和Nyquist chart是一样的:看(-1,0)点。在对数坐标里面就是横轴。如果在180°相位下增益没有落到横轴以下,说明Nyquist chart线越过了(-1,0),系统不稳定;如果横轴和幅频曲线的交点相移越过180°,除非系统这一段在零点造成的幅度上升轨迹里面,否则也是不稳定的。 8、Nyquist chart和Bode Plot最大的意义是:可以用开环的函数{color{Red} }A(s)状况去分析闭环的系统{color{Red} H(s)} 有必要理清一下这三个概念:环路增益、开环函数、闭环函数。 环路增益:LP=A(s)F是系统分析最重要的概念,环路增益=-1是特征方程,决定了系统的动态响应。 开环函数:A(s) ,也称为前向增益。利用开环函数的Bode Plot,可以判断其闭环是否稳定,或者在什么样的反馈条件下稳定。 闭环函数:H(s)=frac{A(s)}{1+LP}approx frac{1}{F},也称为系统的传递函数。这是一切分析的出发点和回归点。A(s)F的所有变化最后都通过H(s)体现。 值得一提的是F。一般F<1。这是否意味着F可以无限小,或者F绝对不能大于1? 对于第一种情况,F
ightarrow 0,分母已经不再满足近似条件LPgg 1,放大增益接近于A(s)。 对于第二种情况,是“非常深的深度负反馈”,那么增益小于1的同时,Nyquist chart往外“膨胀”,稳定性会变差。所以这种事情是不会有人去干的。 9、由此解答了第一个问题:180°时模值不是1,或者模值为1时不是180°,那么数学上成立,但运放仍然自激。原因见7。 所以要求180°时模值小于1,或者模值为1时小于180°。 第二个问题是:相位裕量为什么要保证60°,或者至少45°? 10、这就和典型的二阶闭环系统动态响应特性有关了。(参考简单的二阶理论) 如果A(s)分母是二阶的,分子又是常数或者零点远到可以忽略。那么其根具有共轭对称的特点。阻尼系数决定了A(s)的幅频曲线是否会出现尖峰。而频响上的尖峰对应时域施加阶跃信号时,会产生过冲振铃现象。一般情况下,要求阻尼系数大于某一值,而其对应的相位和180°之间的余量即称相位裕度。 11、波特图的一点小技巧:怎么找相位裕度? 相位裕度针对的是环路增益。一般说A(s)的相位裕度,是把F设为1,默认LP最大也即稳定性挑战最严峻的时候。对于更普遍的情况,是找|A(s)F|=1点。在对数幅频坐标里面,有log(A(s))=-log(F)。所以只要画一条y=-log(F)的水平线,和原来Bode Plot的交点对应的就是增益为1的点,该点的相位距离-180°的大小即相位裕度。 12、负反馈的理论在控制论里面非常成熟。讲道理模拟电路里面用到的非常基本。但就是这点内容也让我花了很久才想清楚。原因一是智商捉鸡,第二就不得不喷一下学校的老师了,根本不是讲模电,而是把模电当一门做题的学问。准确讲国内多数高校教模电的,自己都没做成几个电路,基本功都太马了。而且还没B数,天天YY什么JSSC,ISSCC。所以他们教出来的学生大多都不是真正的工程师,而是一只spice monkey,而且还以此为荣,觉得模电就是经验论,抄论文结构,无脑调参。虽然东西能做出来,但基本的原理往往都搞不清,只能跟着国外的idea亦步亦趋,靠补贴和忽悠骗钱,还觉得自己很辛苦,和互联网比是受委屈了。相比之下,很多大牛的功底太扎实了,从半导体基础到系统级行为建模都是功力深厚,所以做的东西写的文章很漂亮。现在中国最聪明勤劳的学生都在搞金融和互联网,剩下渣渣我这些朽木寄生此行勉强糊口饭吃。可惜的是,劣币驱逐良币。现在指导IC发展的本身就是一群不重视基础只知道大概,更擅长喊口号和谋私利的既得利益者,而他们教出来的学生恐怕最后也依然这样去指导,而有才有志之士又早转入它坑。加上国外早已产业成熟形成压倒优势,面对茫茫前路,渣渣我都感到一丝绝望。