关于负数求模运算到底怎么求

最近有同事问到，负数到底怎么求模，结果的符号是和除数、被除数哪一个相关。因为这个问题好像以前也纠结过，但一直没有整理记录，因此特地搜索了相关资料，同时求证了在Java中求模运算的操作 对于正整数的求模运算，我们都很熟悉。但是负数如何求模，我们来探究一下，以下主要验证是在Java和C语言开发中的负数求模操作，其它如C++、Python等语言，由于环境限制，并未验证。 自然数的求模运算定义

如果a和d是两个自然数，d非零，可以证明存在两个唯一的整数 q 和 r，满足 a = qd + r 且0 ≤ r < d。其中，q 被称为商，r 被称为余数

那么对于负数这样的定义是否也适用呢？我们来假设一个例子，被除数为负数，除数为正数，求解(-8) % 5的结果。我们发现，假如按照自然数求模运算的定义，可以有这样的一个表达式：-8 = -2 * 5 + 2，根据这个表达式，2应该为(-8) % 5的结果，但实际是否这样呢。经Java测试验证，(-8) % 5结果为 -3，经C测试验证，(-8) % 5结果也为 -3。我们再到百度计算器中来计算一下该运算结果：。 语言 求解 商 余数 Java (-8) % 5 -1 -3 C (-8) % 5 -1 -3 百度计算器 (-8) % 5   2 咦！和我们在Java测试中的结果不一样。那么问题就出来了... 看来我们是不能直接把自然数的求模法则用在负数的求模上。实际上，在整数范围内，自然数的求余法则并不被很多人所接受，大家大多认可的是下面的这个定义2：

如果a 与d 是整数，d 非零，那么余数 r 满足这样的关系：a = qd + r , q 为整数，且0 ≤ |r| < |d|

那么这样一来，有负数的求模操作就不是我们想象中那么简单了。如(-8) % 5可以表示为：-8 = -2 * 5 + 2，也可以表示为：-8 = -1 * 5 + (-3)，即 2 和 -3 都是(-8) % 5的正确结果。这种情况下，对于取模运算，可能有两个数都符合要求。我们把 2 和 -3 分别叫做正余数和负余数。通常，当除以 d 时，如果正余数为r1，负余数为r2，那么有：

r1 = r2 + d

我们再来看一种情况。求解8 % (-5)的结果，现在我们将除数换成负数，被除数换成正数。根据定义2，我们可以将8 % (-5)表示为：8 = (-2) * (-5) + (-2)，也可以表示为：8 = (-1) * (-5) + 3，即 -2 和 3 都是 8 % (-5) 的结果。在Java测试验证时，结果为 3，C语言测试验证时，结果也为 3。 语言 求解 商 余数 Java 8 % (-5) -1 3 C 8 % (-5) -1 3 百度计算器 8 % (-5)   -2 可以推断，被除数与除数中其中一个数字为负数，在进行求模运算时，Java和C语言中通常会尽量让商大一些，如在8 % (-5)中，以-1为商而不是以-2为商；在(-8) % 5中，以-1为商而不是以-2为商。 那么如果被除数和除数均为负数时，求模运算是如何进行的呢？ 我们来分析一下(-8) % (-5)，可以表示为：-8 = 1 * (-5) + (-3)或-8 = 2 * (-5) + 2，那么按照前述推断，是否2为(-8) % (-5)的结果呢，我们到Java和C中测试一下，结果如下： 语言 求解 商 余数 Java (-8) % (-5) 1 -3 C (-8) % (-5) 1 -3 百度计算器 (-8) % (-5)   -3 结果却出乎我们的意料，但Java、C、百度计算器中返回的结果却是一致的。 如果我们再按照定义2分析一下，被除数与除数均为正数时的情况，8 % 5可表示为：8 = 1 * 5 + 3或8 = 2 * 5 + (-2)，我们知道，在Java、C中，8 % 5的结果为3，即商在取值是选择了较小值，与(-8) % (-5)结果为-3所对应取的商值是同一规律：尽量让商小一些 语言 求解 商 余数 Java 8 % 5 1 3 C 8 % 5 1 3 百度计算器 8 % 5   3

总结

根据以上分析，我们有理由做出如下总结

• 对于同号整数求模，运算原则应遵循尽量使商小
• 对于异号整数求模，在Java、C语言中，运算原则就遵循尽量使商大