①设正整数两两互素，则同余方程组                                   有整数解。并且在模下的解是唯一的，解为                                     其中，而为模的逆元。
代码如下： __int64 GCD(__int64 a,__int64 b) { return b == 0 ? a : GCD(b,a%b); } void exGCD(__int64 a,__int64 b,__int64 &x,__int64 &y) { if (b == 0) { x = 1; y = 0; return; } exGCD(b,a%b,y,x); y -= a / b * x; } __int64 CRT(int *m,int *a,int n) //m表示除数，a为余数 { __int64 M = 1; for (int i = 1 ; i <= n ; i++) M = M / GCD(M , m[i]) * m[i]; //这里求最小公倍数 __int64 ans = 0; __int64 x,y; for (int i = 1 ; i <= n ; i++) { __int64 Mi = M / m[i]; exGCD(m[i],Mi,x,y); //求 Mi 模 m[i] 的逆元（即公式的 M^(-1)） ans = (ans + a[i] * Mi * y) % M; } return ans; }


②当m不互质：（转载至：点击打开链接）

中国剩余定理： 给定方程组: x%a[0] = m[0] x%a[1] = m[1] ··· x%a[n-1] = m[n-1] 求变量x 的值 m必须互质 当m不互质时用合并方程的做法： （合并方程的原因：当我们把n条方程合并成1条时就是extend能求的了，extend能求一条方程的解
问题描述：给出bi，ni的值，且n1, n2, n3,…, ni两两之间不一定互质，求Res的值？ 
解：采用的是合并方程的做法。 
这里将以合并第一第二个方程为例进行说明 
由上图前2个方程得(设k1、k2为某一整数)： 
所以我们简化一下结论： 已知方程组（b1,b2,n1,n2是已知量）： res%b1 = n1 res%b2 = n2 -> 合并两条方程得到： res % ( (n1*n2)/d ) = b1+n1*( K%(n2/d)) 其中K = (k1*(b2-b1)/d) % (n2/d); 
其中d = gcd(n1,n2); 其中k1： k1*n1 - k2*n2 = b2-b1 k1,d 可以直接由extend_gcd得到 extend_gcd(n1,n2,d,k1,k2); (b2-b1)%d == 0 说明extend跑出的k1是一个解，否则说明不存在满足解的k1 注意求K时：为了得到最小非负整数K，所以用一个取模的技巧 K = (K%mod+mod)%mod; 例题及题解：点击打开链接 ================================== 若 a == b (mod n) 能推出下面2条等式 1： (a+c) == b+c (mod n) 2：ac == bc (mod n) （但 ac==bc(mod n) 不能推出 a==b(mod n)）

代码实现：（确实不好记，下面的代码我更新了好几遍，每次都有小错误） __int64 GCD(__int64 a , __int64 b) { return b == 0 ? a : GCD(b,a%b); } __int64 exGCD(__int64 a,__int64 b,__int64 &x,__int64 &y) { if (!b) { x = 1; y = 0; return a; } int g = exGCD(b,a%b,y,x); y -= a / b * x; return g; } __int64 CRT(__int64 *m,__int64 *a,int n) //x % m == a { __int64 lcm = 1; for (int i = 1 ; i <= n ; i++) lcm = m[i] / GCD(m[i],lcm) * lcm; for (int i = 2 ; i <= n ; i++) { __int64 A = m[1] , B = m[i],d,x,y,c = a[i] - a[1]; //d 为 GCD(A,B) d = exGCD(A,B,x,y); if (c % d != 0) //无解 return -1; __int64 mod = m[i] / d; //然后套公式 __int64 K = ((x * c / d) % mod + mod) % mod; a[1] = m[1] * K + a[1]; m[1] = m[1] * m[i] / d; } if (a[1] == 0) //如果最后合并的结果的余数为0，答案就是他们的最小公倍数 return lcm; return a[1]; }