矩阵论 两周上课的知识总结(一)

2019-04-14 12:18发布

矩阵论的知识包括如图的六个部分,我们首先来总结一下线性代数的知识点和矩阵论的第一节,矩阵化简。

目录 行列式(det(A)): 矩阵: 线性方程组的解法: 相似矩阵(对角化): 约当(Jordan)型:

行列式(det(A)):

表示一个数(行列式中所有不同行不同列的元素乘积的代数和,每一项的符号与列标的逆序数有关)。计算时,通常用任意一行或一列的各元素与其代数余子式的乘积之和来表示。 行列式的运算规则:k乘行列式的某一行,等于用k乘行列式  kdet(A)                                   对换行列式的两行(列)->行列式的符号改变                                   k乘行列式的一行再加到另一行上,行列式的值不变                                   因此,若行列式有两行成比例,则可通过上述的运算将行列式的某一行变为0,行列式的值为0

矩阵:

一个由m*n个数组成的m行n列的数表,如m*n维、n*n维 每个方阵对应一个行列式。 单位矩阵:对角线为1,其他值为0的方阵 矩阵的逆:可以通过矩阵的行列式来求解 矩阵的秩r(rank(A)):矩阵的行列式不为0的子式的最高阶数。 矩阵的初等变换:1 互换两行(列)                                2 常数k乘以某一行(列)                                3 常数k乘以某一行(列)加到另一行(列) 初等方阵:对单位矩阵进行一次初等变换所得到的方阵。 经过初等变换得到的矩阵与原矩阵等价,初等变换不改变矩阵的秩 对矩阵A进行一次初等行(列)变换,就相当于左(右)乘一个相应的初等方阵

线性方程组的解法:

对其增广矩阵进行初等变换为阶梯形矩阵。若r=n,则有唯一解,若r下面进入我们矩阵论学习的内容啦(其实这部分线性代数也讲过,相当于和研究生课程重叠了一小块吧):

相似矩阵(对角化):

A=P^{-1}BP 特征向量:Ax=lambda x 其中,特征向量构成的矩阵即为P(可使矩阵A对角化)。 特征多项式:varphi (lambda)=det({lambda}I-A)          ps:特征多项式是一个以lambda为未知数的多项式,不是一个数或一个矩阵。 求矩阵的特征值,特征向量,判断是否可对角化的过程: 求出矩阵的特征多项式->其根为特征值->特征值代入特征多项式->求出对应特征向量->若几何重数小于代数重数,即线性无关的特征向量的个数小于n->则不能化为对角形(但可化为Jordan型) 注意:n个线性无关的特征向量不代表矩阵的秩为n,两者并没有直接关系。

约当(Jordan)型:

由若干约当块组成。任何方阵都可以通过相似变换化为约当型 求矩阵的约当型的步骤(3种方法): 1 特征多项式矩阵->经过初等变换,化为史密斯标准型->求出不变因子->分解求出初等因子->每个初等因子对应一个约当块->组合成为约当型 ps:所有初等因子的幂次和为n 2 特征多项式矩阵->求出k阶子式的最大公因式->高阶除以低阶,由此得出初等因子->每个初等因子对应一个约当块->组合成为约当型 3步骤同前面求可对角化矩阵特征向量的过程,只是求出的特征向量个数小于n,说明那个特征值对应的空间维数小于其重根数,则这个特征值对应一个(也可能是多个)约当块,其他的特征值对应对角线上的一个值。 ps:举例,一个三阶矩阵的特征值为1,2,其中特征值2为2重根,求特征向量,1对应一个特征向量,2对应一个特征向量,则说明几何重数小于代数重数,不能对角化,因此1对应一个一阶约当块,2对应一个二阶约当块。 应用: 由矩阵可化为约当型及约当型的性质可推出:汉密尔凯莱定理 由这个定理可以进行矩阵多项式的化简。流程如下:f(A)?
ightarrow f(lambda)
ightarrow f(lambda)=g(lambda)varphi (lambda)+r(lambda)
ightarrow f(A)=g(A)varphi (A)+r(A)
ightarrow f(A)=r(A) 将矩阵多项式化为更简单的形式,运算化简