蓝桥杯历届试题 公式求值

2019-04-14 12:42发布

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历届试题 公式求值  

时间限制：1.0s   内存限制：256.0MB 问题描述 　　输入n, m, k，输出下面公式的值。
      
　　其中C_n^m是组合数，表示在n个人的集合中选出m个人组成一个集合的方案数。组合数的计算公式如下。
data/attach/1904/i148s1tfnw17znlkbgk9ptqzfss41q6w.jpg 输入格式 　　输入的第一行包含一个整数n；第二行包含一个整数m，第三行包含一个整数k。 输出格式 　　计算上面公式的值，由于答案非常大，请输出这个值除以999101的余数。 样例输入 3
1
3 样例输出 162 样例输入 20
10
10 样例输出 359316 数据规模和约定 　　对于10%的数据，n≤10，k≤3；
　　对于20%的数据，n≤20，k≤3；
　　对于30%的数据，n≤1000，k≤5；
　　对于40%的数据，n≤10^7，k≤10；
　　对于60%的数据，n≤10^15，k ≤100；
　　对于70%的数据，n≤10^100，k≤200；
　　对于80%的数据，n≤10^500，k ≤500；
　　对于100%的数据，n在十进制下不超过1000位，即1≤n<10^1000，1≤k≤1000，同时0≤m≤n，k≤n。 提示 　　999101是一个质数；
　　当n位数比较多时，绝大多数情况下答案都是0，但评测的时候会选取一些答案不是0的数据；
参考答案：
import java.util.Scanner;
public class Gongshi{
    public static void main(String[] args) {
        Scanner C=new Scanner(System.in);
        long n=C.nextInt();
        long m=C.nextInt();
        long k=C.nextInt();
        long p=0;
        long h=zh(m,n);
        //System.out.println(h);
        for(int i=0;i<=n;i++){
            p+=zh(i,n)*ik(i,k);
        }
        System.out.println((p*h)%999101);
        
    }
    public static long jc(long j){            //求j的阶乘         
        long sum=1;
        for(int i=1;i<=j;i++){
            sum*=i;
        }
        return sum;
    }
    public static long zh(long a,long b){    //求组合数c(b,a)     
        long t=jc(b)/(jc(a)*jc(b-a));
        return t;
    }
    public static long ik(long x,long y){    //求x的y次方           
        long q=1;
        for(int p=0;p             q*=x;
        }
        return q;
    }
} 我的代码 1：初稿 import java.util.Scanner; public class Result { public static void main(String[] args) { Scanner sca=new Scanner(System.in); int n,m,k,sum=0,h; n=sca.nextInt(); m=sca.nextInt(); k=sca.nextInt(); for(int i=1;i<=n;i++){ sum+=(jc(n)/(jc(i)*jc(n-i)))*(int)Math.pow(i, k); } h=jc(n)/(jc(m)*jc(n-m)); System.out.println((sum*h)%999101); } public static int jc(int a){ int s=1; for(int j=a;j>0;j--){ s*=j; } return s; } } 运行结果： 20 10 10 681684 我的代码 2：改进 import java.util.Scanner; public class Result { public static void main(String[] args) { Scanner sca=new Scanner(System.in); long n,m,k,sum=0,h; n=sca.nextInt(); m=sca.nextInt(); k=sca.nextInt(); for(int i=1;i<=n;i++){ sum+=(jc(n)/(jc(i)*jc(n-i)))*(long)Math.pow(i, k); } h=jc(n)/(jc(m)*jc(n-m)); System.out.println((sum*h)%999101); } public static long jc(long a){ long s=1; for(long j=a;j>0;j--){ s*=j; } return s; } } 因为当数字很大时int已经不够放下数字，所以要设为长整形long。 运行结果： 20 10 10 54327 虽然结果仍然是不对但是有所改进。
正确答案：
用到的知识  lucas定理  欧拉定理 或费马小定理  快速幂   数学组合公式推导 lucas定理  求C(n,m)%p     数论Lucas定理：是用来求 c(n,m) mod p的值,p是素数（从n取m组合，模上p） 描述为: Lucas(n,m,p)=cm(n%p,m%p)* Lucas(n/p,m/p,p) Lucas(x,0,p)=1; 而 cm(a,b)=a! * (b!*(a-b)!)^(p-2) mod p 也= (a!/(a-b)!) * (b!)^(p-2)) mod p 这里，其实就是直接求 (a!/(a-b)!) / (b!) mod p 由于 (a/b) mod p = a * b^(p-2) mod p
费马小定理   a^(p-1) mod p=1 (mod p) import java.math.BigInteger;
import java.util.Scanner;
 
public class L_20END {
    /***
     * @author 林梵
     */
    public static BigInteger lucas(BigInteger n,BigInteger m,BigInteger p){
        if(m.equals(BigInteger.ZERO)) return BigInteger.ONE;
        return BigInteger.valueOf(f(n.mod(p).longValue(),m.mod(p).longValue())).multiply(lucas(n.divide(p),m.divide(p),p)).mod(p);
    }
 
    public static long f(long n,long m){
        if(m>n) return 1;
        if(n==m|| m==0) return 1;
        if(m>n-m) m=n-m;
        long tmpi=1,tmpn=1,s1=1,s2=1,ans=1;
        for (int i = 1; i<=m; i++) {
            tmpi=i;
            tmpn=n-i+1;
            s1=s1*tmpi%999101;
            s2=s2*tmpn%999101;
        }
        ans = s2*pow1(s1,999099)%999101;
        return ans%999101;
    }
    public static long pow1(long x,long n) {
        if(x==1) return 1;
        if (n==0)
            return 1;
        else {
            while ((n & 1)==0) {
                n>>=1;
                x=(x *x)%999101;
            }
        }
        long result = x%999101;
        n>>=1;
        while (n!=0) {
            x=(x *x)%999101;;
            if ((n & 1)!=0)
                result =result*x%999101;
            n>>=1;
        }
        return  result;
    }
    public static void main(String[] args) {
        Scanner sc = new Scanner(System.in);
        BigInteger n = new BigInteger(sc.nextLine());
        BigInteger m = new BigInteger(sc.nextLine());
        int k = Integer.parseInt(sc.nextLine());
        long start = System.currentTimeMillis();
        BigInteger md = new BigInteger("999101");
        long Cnm=lucas(n, m,md).longValue()%999101;
        long sum = 0;
        if(Cnm!=0){
            int[][] a = new int[k][k];
            int h = 1;
            for (int i = 0; i < k; i++) {
                for (int j = 0; j < k; j++) {
                    if (j >= h)
                        a[i][j] =0;
                    else {
                        if (j == 0 || j == h - 1)
                            a[i][j] = 1;
                        else {
                            a[i][j] = (a[i - 1][j - 1]*(h - j)+a[i - 1][j])%999101;
                        }
                    }
                }
                h++;
            }
            long m1 = 1,n1 =1;
            long x=n.subtract(new BigInteger(k+"")).mod(md.subtract(BigInteger.ONE)).longValue();
            long n3 = pow1(2,x);
            for (int i = k - 1; i >= 0; i--) {
                n1=n3*pow1(2,i)%999101;
                m1 = m1*(n.subtract(new BigInteger((k - 1 - i) + "")).mod(md).longValue())%999101;
                sum = (sum+m1*a[k - 1][i]*n1)%999101;
            }
            sum = sum*Cnm%999101;
        }
        System.out.println(sum);
        long end = System.currentTimeMillis();
        System.out.println(end - start);
    }
 
}
--------此代码------------- 
作者：林梵 
来源：CSDN 
原文：https://blog.csdn.net/u010836847/article/details/21166725?utm_source=copy 
 

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