在上一篇博客中，我们重点了解了关于自动控制原理的一些基本概念 以及一些相关的术语，以及能够分析控制系统的基本组成以及相应的工作原理。那么本篇博客我们重点学习的是控制原理的数学模型。 我们在上一篇博客中曾经提到过：在经典控制理论当中有三个理论基石：时域分析法，根轨迹法、频域分析法。而这三种方法只是我们分析系统的一种手段，而不管是采用那一钟方法，我们都离不开系统它的数学模型。 数学模型是什么呢？ 是我们依据系统的工作原理抽象出来的一些数学表达式或者一些图形。 本篇博客中，我们会讲解上面这些数学模型。（微分方程、传递函数、结构图、信号流图）

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一 . 微分方程

在时域当中的数学模型，叫做 微分方程。在微分方程这样的数学模型当中，我们要了解一下几个方面： 1 . 微分方程它的建立以及如何化成标准化（什么叫做标准化？所谓标准化是指：我们把微分方程的左右分布安装输出和输入的 各阶导数，以及导数从高到低的次序来排列）。 2 . 此外，微分方程中，除了线性系统之外，还有一些非线性系统的微分方程。（不解释） 3 . 列写这些微分方程的目的是什么呢？我们要通过这些微分方程的解来分析系统的性能。这是我们在时域当中要见到的一种数学模型，这种数学模型（微分方程）它的列写是有一定的技巧的，也就是说我们拿到一些系统以后我们要来分析这些系统它的工作性质，究竟是什么样的系统？是力学系统呢，还是热学系统，还是电学系统。按照这些系统它所依据的物理定律，比如说 ：物理学系统它说依据的是牛顿第二定律，而电学系统主要依据的是基尔霍夫电压或者电流定律，列出来原始平衡方程，对这些原始平衡方程进行化解得到标准形式，并且利用微分方程的求解得到微分方程的解，从这些解当中，我们分析控制系统的性能。

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二 . 传递函数

在 复频域 当中的数学模型，叫做 传递函数。这种数学模型在经典控制理论当中是站着举足轻重的作用，我们后面的每一篇博客的学习都离不开这种数学模型。 1 . 那么对于这样的数学模型，我们要了解它的定义，以及它的一些性质。尤其是知道了它的性质，在我们分析系统的响应的时候也会起到简化的作用；还有传递函数在描述系统的时候是不是还有一些局限性，这我们也需要了解。 2 . 还需要了解一些常用的控制元件它的数学模型，也就是它的传递函数。 传递函数我们常见的表现形式有几种，这些表现形式有什么样的特点，我们将重点讲两种表现形式。 （1）. 一个是以零、极点的模型形式来表现的。我们可以把它写作：一个系统的传递函数 等于 所对应的所有的系统的零点它的乘积 比上 所有的极点它的乘积。这种数学模型在我们后面介绍根轨迹方法当中，经常会见到。 G(s)=K∏i=1m(s−zi)∏j=1n(s−pj) （2） . 除了零、极点这种数学模型之外，还有一种数学模型是以典型环节的形式来表述的，也就是说 这个系统的数学模型，我们能够把它写做：传递函数 等于 由一些比例环节或者是一阶的微分环节或者是二阶的微分环节 比上 积分环节或者一阶惯性环节或者二阶的震荡环节等等，这样的形式来表示的，这样的数学模型的形式，我们在频域分析法当中经常会见到。

传递函数这种数学模型在考研当中，求系统的传递函数这样的考题，我们都会见到。所以这种数学模型的形式，我们要非常熟练的掌握。

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三 . 动态结构图

除此之外，还有一种数学模型，是以图形的形式来表示的，我们把它叫做：动态结构图。那么动态结构图，我们要掌握它的绘制原则。也就是说：给你一个抽象的物理系统以后，你如何从这样的物理系统当中分析它的工作原理，进而建立它的动态结构图。这种动态结构图的建立是有一定的技巧的，这个我们在后面的博客中会介绍到。那么这种动态结构图的绘制， 绘制出来之后还没有完，我们还需要对动态结构图进行等效，得到系统最终的传递函数，从而分析它的性能。 那么在动态结构图中的等效当中，我们会经常见到这样的几种等效原则：
串联、并联、以及反馈，还有最重要的是：引出点和比较点它们该如何移动。这些我们在后面的博客中也会详细介绍 。

（在各个院校的考研试卷中，动态结构图的题即使不是一专门的题来出现，也会在各种题型中出现，因为从系统的动态结构图建立它的传递函数这一过程，是分析系统的基础，所以这种动态结构图的等效我们也需要牢牢的掌握。）

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四 . 信号流图

而动态结构图的等效我们并不提倡大家采用动态结构图化简的方式。因为这种动态结构图化简的方式在遇到了：引出点和比较点相互交叉的时候，经常容易出错，那么我们该怎么办呢？ 这在我们下一种数学模型：信号流图的化简 中我们会学习到一钟更简便的方法。 那么信号流图和动态结构图一样都是图形形式的数学模型，那么二者的区别在哪里呢？ 信号流图除了可以描述线性系统之外，对于非线性系统，我们一样可以来进行描述。 信号流图的绘制有两种方式：

• 如果一个时域当时的微分方程或者代数方程我们已经知道了，我们就可以从方程当中来绘制它的信号流图。
• 如果动态结构图我们已经知道了，那么我们从动态结构图中，也能绘制信号流图。

其实，信号流图的绘制并不重要，因为我们只要知道了动态结构图，在利用以后会学到的一个公式（Mason增益公式），对于任何系统，它的传递函数都可以很容易的来获得。（Mason增益公式 会在以后的博客中详细的介绍。） 我们刚刚说了：传递函数是控制系统当中非常重要的数学模型，在考试当中会直接或者间接的见到传递函数的求解，这种求解会以什么样的形式出现呢？首先它可能让你去求一个控制系统它的开环或者闭环的传递函数。这在什么情况下呢：给了你动态结构图或者信号流图，那么这就涉及到了动态结构图和信号流图的化简。此外，我们还会见到，比如说：一个系统它是一个多输入的系统，它既有参考输入的作用又有扰动信号的作用，对于这样的系统，分别在不同输入信号的输入下，所对应的传递函数或者是误差传递函数它的求解在考研的各种试题当中也可能见到。 我们重点需要学会的就是这三个问题：

• 传递函数该如何求取
• 动态结构图的化简
• Mason增益公式的使用。

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下面我们从重要的知识点开始了解。

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五 . 传递函数的定义

刚才我们说过了：在控制系统的数学模型中，传递函数 站着举足轻重的作用，那么什么是传递函数？所谓的传递函数的定义是有这样的前提条件的： 首先：（1）传递函数它针对的是线性的定常系统。那么非线性的系统，或者这个系统是变系数的系统都是不能使用传递函数来表述它的数学模型。 再有：（2）要在零初始条件下。所谓的 零初始条件 是指：在时间 t=0 时刻，输出的各阶导数都应该等于0，并且 t=0 时刻，系统是没有输入的。 这就是零初始条件 的定义。 在满足了这样的两个前提条件的情况下，输出的拉氏变换（C(s)）和输入的拉氏变换（R(s)）的比值，我们把它定义为系统的传递函数。 G(s)=C(s)R(s)

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传递函数和其他的各种数学模型之间还是不割裂的，它们之间是可以相互转换的。比如说，如果现在我们已经知道了时域中的数学模型（微分方程）。这种微分方程和传递函数之间是可以相互转换的 。 下面是一个n阶线性定常系统在时域中的数学模型（n阶的微分方程）。 a0dndtnc(t)+a1dn−1dtn−1c(t)+⋯+an−1ddtc(t)+anc(t)=b0dmdtmr(t)+b1dm−1dtm−1r(t)+⋯+bm−1ddtr(t)+bmr(t) 这样一个这么长的微分方程，我们只需要把里面所对应的 微分算子 ddt 全部转换为复频域当中的变量s （ ddt→s），那么这样一个微分方程，我们就可以将它转换为系统的一个传递函数了。 当我们将微分方程里面每个微分算子 ddt 使用 s 替代以后，就变成了下面这样的形式。 a0snC(s)+a1sn−1C(s)+⋯+