为什么p为质数时在模p意义下(p-1)!的逆元等于p-1

2019-04-14 12:55发布

证明:当p为质数时,(p-1)!的逆元为p-1。
若(p-1)!的逆元为p-1,则有这里写图片描述
接下来证明(p-2)!与1同余。(p-2)!在模p的意义下等于1说明2~p-2可以分成若干对,每一对两两互为逆元(即每一个数乘完后可以被另一个数抵消)。由于p为质数,1~p-1的所有数都有逆元。只要证明2~p-2中的数的逆元都不等于自身即可。
证明:这里写图片描述
这里写图片描述
显然x=0时有解a=1
若x!=0,则说明(a+1)(a-1)一定是p的倍数。p为质数,在[2,p-1]中只有当a=p-1才可能出现p的倍数。 因此,(p-1)!的逆元为(p-1)。