补码表示的引入是基于模的概念。所谓模是指一个计数器的容量。比如钟表以12为一个计数循环，即可看做以12为模。在进行钟表对时时，假设当前钟表的时针停在九点位置，要将时针拨到2点，可以采用两种方法。一种是顺时针拨动指针向前5个小时，9＋5＝14，14-12=2，指针指向2点。这是因为钟表上只有12个刻度，即钟表的计数容量是12，当指针超过12点的时候钟表要重新从0点开始计时；另一种方法是逆时针转动7个小时，9-7=2，指针同样也指向2点。     数学上取模的符号是mod，在对于采用12为模的钟表而言，9－7=(9+5)mod12，称为在模12条件下9-7等于9+7。7加5等于模12，这样的数我们称它们互为补数，即对于模12而言7是5的补数，同样5也是7的补数。由上面的计算我们可以知道对于一个确定的模而言，当需要减去一个数x时，可以用加上x对应的负数-x的补数来代替。我们还可以知道如何求补数：整数的补数等于其本身；负数的补数等于模与该数的绝对值之差。     钟表记小时数的容量是12，钟表的模就是12，那计算机中计数器的容量是多少哪？在计算机中，由于硬件的运算器与寄存器都有一定的字长限制，即计算机硬件能够一次处理的二进制数据的长度是有限的，因此计算机中的运算也是有模运算的。以位数为8的二进制计数器为例，计数的范围是00000000~11111111，当计数器的数值记到，11111111时，再加1，计数器达到100000000，产生溢出，最高位1被丢掉，使得计数器又从00000000开始计数。对于这个8位二进制计数器而言，产生溢出的量100000000就是计数器的模，相当与前面钟表示例中的12。     对于使用n位二进制数表示数据的硬件，纯小数的具有x1.x2x3……xn-1xn的形式，xn代表的是一个数位，它能表示的范围是0.0000……00~1.1111……11，溢出的值是10.0000......00，它的模是2；纯整数具有x1x2x3……xn-1xn的形式，能表示的范围是0000……00~1111……11，溢出的值是10000……00，它的模就是2^n。下面按照纯小数、纯整数分别给出补码的定义。     纯小数x：0<=x<1，补码是其自身；-1<=x<0，补码等于2+x。     纯整数x：0<=x<2^(n-1)，补码是其自身；-2^(n-1)<=x<0，补码等于2^n+x。    Java语言中的整数系列都可以采用补码表示。 例3-1：求一下各数的补码（8位二进制），+0.1010110、-0.1010110、+1010110、-1010110。 结果：0.1010110、1.0101010、01010110、10101010。 例3-2：几个特殊数的补码： ü 真值0 由补码定义，如下： 纯小数：+0补码=0.000…0 （n个0） -0补码=2-0.000…0=0.000…0 纯整数：+0补码=0000…0 （n个0） -0补码=2^n-1-0000…0=0000…0 在补码中真值0的表示是唯一的。 ü 真值-1 由补码定义，如下： 纯小数：-1补码=2-1.000…0=1.000…0 （符号位一个1，数值位上n-1个0） 纯整数：-1补码=2^n-0000…1=1111…1 （n个1） 在纯小数的原码当中，-1是无法表示的；而在补码中，纯小数的补码最小值可以表示到-1。比较直观的理解是符号位的1既表示符号也表示数值1。 ü 真值-2^(n-1) [-2^(n-1)]补码=2^n-2^(n-1)=1000…0 （符号位一个1，数值位上n-1个0） 在纯整数的原码当中，-2^(n-1)是无法被表示的，而在补码当中，在模-2^n的条件下，纯整数的补码最小可以表示到-2^(n-1)。比较直观的理解是符号位的1既可以表示符号1，也表示数值2^(n-1)。 例3-3：补码的简便求法，若x>=0，则x的补码为其自身，并使符号位为0；若x<0，则将x的各位取反，然后在最低位上加1，并使符号位为1，既得到x的补码。 证明：对于x>=0，根据补码的定义可得； 当x<0的时候，有两种情况：x为纯小数、x为纯整数。 当x为纯小数的时候，[x]补码=2+[x]原码=10.00…0(一个1，n个0)-0.x1x2…xn-1 稍稍做一点变化，原式=1.11…1(n个1)+0.00…1(n-1个0，最低位一个1)-0.x1x2…xn-1 =(1.11…1-0.x1x2…xn-1)+0.00…1 1.11…1-0.x1x2…xn-1等于将x的各位按位取反，再加上0.00…1，等于在最低位上加1。同样的方法，我们也可以证明当x为纯整数的的时候，结论也成立。 综上，得证。 补码与减法运算     前面在介绍模的时候已经提到：对某一个确定的模而言，当需要减去一个数x的时候，可以用加上对应的负数的补码来代替。既，X-Y等价于X+[Y]补码。因此需要在已知Y的条件下求[-Y]补码。如果Y已经是补码了，那么如何求-Y的补码哪？如果先将Y转化成原码，再求(-(Y原码))的补码，这样求得结果肯定没有问题，但是很累。有没有简便的算法哪。看下面的讨论。 设真值X>0 X-X=0 à 减去一个数等于加上它的补码，因此有 [X]补码+[-X]补码 = 0 = 模 à [-X]补码=模-[X]补码=[[X]补码]补码=对X的补码求补码。 由上面的讨论我们可以得出对补码相反数求补的简单规则是：将X的各位（含符号位）取反，然后在最低位上加1，既得到[-X]补码(既，取补码的补码)。 例3-4：已知X，求-X的补码。 ü X=01001101 -X补码=10110011 ü X=10110010 -X补码=01001110