POJ1284 Primitive Roots

2019-04-14 15:53发布

题目大意:原根模板题&&欧拉函数模板题,求出模P的原根; 思路:首先根据定理:模m有原根的充要条件:m=1,2,4,p^n,2p^n,其中p是奇素数。 如果模m有原根的话,原根的个数是:φ(φ(m))在此题,p直接给出是奇素数,那就简单了 直接:φ(p-1)撸过去~~就转化成欧拉函数的模板题了      附上理论(来自百度百科):  原根的定义  原根Primitive Root。    设m是正整数,a是整数,若a模m的阶等于φ(m),则称a为模m的一个原根。(其中φ(m)表示m的欧拉函数)   假设一个数g对于P来说是原根,那么g^i mod P的结果两两不同,且有 1原根的性质   1)可以证明,如果正整数(a,m) = 1和正整数 d 满足a^d≡1(mod 7),则 d 整除 φ(m)。因此Ordm(a)整除φ(m)。在例子中,当a= 3时,我们仅需要验证 3 的 1 、2、3 和 6 次方模 7 的余数即可。   2)记δ = Ordm(a),则a^1,……a^(δ-1)模 m 两两不同余。因此当a是模m的原根时,a^0,a^1,……a^(δ-1)构成模 m 的简化剩余系。   3)模m有原根的充要条件是m= 1,2,4,p,2p,p^n,其中p是奇质数,n是任正整数。   4)对正整数(a,m) = 1,如果 a 是模 m 的原根,那么 a 是整数模n乘法群(即加法群Z/mZ的可逆元,也就是所有与 m互素的正整数构成的等价类构成的乘法群)Zn的一个生成元。由于Zn有 φ(m)个元素,而它的生成元的个数就是它的可逆元个数,即 φ(φ(m))个,因此当模m有原根时,它有φ(φ(m))个原根。

原根的例子

  设m= 7,则φ()等于6。   设a= 2,由于2^3=8≡1(mod 7),而3<6,所以 2 不是模 7 的一个原根。设a= 3,由于3^1≡3(mod 7),3^2≡2(mod 7),3^3≡6(mod 7),3^4≡4(mod 7),3^5≡5(mod 7),3^6≡1(mod 7),所以 3 是模 7 的一个原根。
    AC program: #include #include #include #include #include using namespace std; typedef __int64 LL; int pp[300]; int nn[300]; LL get_ee(LL n) { LL k=0; LL tmp=n; for(LL i=2;i*i<=tmp;) { if(n%i==0) { LL cnt=0; pp[k]=i; while(n%i==0) { n/=i; cnt++; } nn[k++]=cnt; } else i++; } if(n!=1) { pp[k]=n; nn[k++]=1;} LL sum=1; for(LL i=0;i>m) { cout<