题目大意:
原根模板题&&欧拉函数模板题,求出模P的原根;
思路:首先根据定理:模m有原根的充要条件:m=1,2,4,p^n,2p^n,其中p是奇素数。
如果模m有原根的话,原根的个数是:φ(φ(
m))在此题,p直接给出是奇素数,那就简单了
直接:φ(p-1)撸过去~~就转化成欧拉函数的模板题了
附上理论(来自百度百科):
原根的定义 原根Primitive Root。
设m是正整数,a是整数,若a模m的阶等于φ(m),则称a为模m的一个原根。(其中φ(m)表示m的欧拉函数)
假设一个数g对于P来说是原根,那么g^i mod P的结果两两不同,且有 1
原根的性质
1)可以证明,如果正整数(a,m) = 1和正整数 d 满足a^d≡1(mod 7),则 d 整除 φ(m)。因此Ordm(a)整除φ(m)。在例子中,当a= 3时,我们仅需要验证 3 的 1 、2、3 和 6 次方模 7 的余数即可。
2)记δ = Ordm(a),则a^1,……a^(δ-1)模 m 两两不同余。因此当a是模m的原根时,a^0,a^1,……a^(δ-1)构成模 m 的简化剩余系。
3)模m有原根的充要条件是m= 1,2,4,p,2p,p^n,其中p是奇质数,n是任正整数。
4)对正整数(a,m) = 1,如果 a 是模 m 的原根,那么 a 是整数模n乘法群(即加法群Z/mZ的可逆元,也就是所有与 m互素的正整数构成的等价类构成的乘法群)Zn的一个生成元。由于Zn有
φ(m)个元素,而它的生成元的个数就是它的可逆元个数,即 φ(φ(m))个,因此当模m有原根时,它有φ(φ(m))个原根。
原根的例子
设m= 7,则φ()等于6。
设a= 2,由于2^3=8≡1(mod 7),而3<6,所以 2 不是模 7 的一个原根。设a= 3,由于3^1≡3(mod 7),3^2≡2(mod 7),3^3≡6(mod 7),3^4≡4(mod 7),3^5≡5(mod 7),3^6≡1(mod 7),所以 3 是模 7 的一个原根。
AC program:
#include
#include
#include
#include
#include
using namespace std;
typedef __int64 LL;
int pp[300];
int nn[300];
LL get_ee(LL n)
{
LL k=0;
LL tmp=n;
for(LL i=2;i*i<=tmp;)
{
if(n%i==0)
{
LL cnt=0;
pp[k]=i;
while(n%i==0)
{
n/=i;
cnt++;
}
nn[k++]=cnt;
}
else i++;
}
if(n!=1)
{ pp[k]=n; nn[k++]=1;}
LL sum=1;
for(LL i=0;i>m)
{
cout<