111-112. 龙格库塔法

第9分钟开始。
应用最多得，且精度高。
Tylor展开法 可以构造出高阶数值方法，但是要涉及到计算f(x,y)" role="presentation" style="position: relative;">f(x,y)$f(x,y)$的高阶导数，不方便。
龙格库塔法就是避免求高阶导数，的高阶数值方法。
基本思想：
转化为积分问题，而定积分使用待定的m点插值型求积公式构造，进而展开处理。
构造原理：
∫xkxk+1y′(x)dx=y(xk+1)−y(xk)=∫xkxk+1f(x,y(x))dx" role="presentation">∫xk+1xky′(x)dx=y(xk+1)−y(xk)=∫xk+1xkf(x,y(x))dx$${\int }_{x_k}^{x_{k+1}}{y}^{\prime }(x)dx=y(x_{k+1})-y(x_k)={\int }_{x_k}^{x_{k+1}}f(x,y(x))dx$$
1.定积分使用待定的m点插值型求积公式：
y(xk+1)=y(xk)+∫xkxk+1f(x,y(x))dx≈y(xk)+h∑i=1mcif(ξi,y(ξi)),ξi∈[xi,xi+1]" role="presentation">y(xk+1)=y(xk)+∫xk+1xkf(x,y(x))dx≈y(xk)+h∑i=1mcif(ξi,y(ξi)),ξi∈[xi,xi+1]$$\begin{gathered} y(x_{k+1})=y(x_k)+{\int }_{x_k}^{x_{k+1}}f(x,y(x))dx \\ \approx y(x_k)+h\sum _{i=1}^m{c}_{i}f({\xi }_i,y({\xi }_i)),{\xi }_i\in [x_i,x_{i+1}] \end{gathered}$$
2.做 符号 和 近似 变化：
(1)yk+1=yk+h∑i=1mciKiK1=f(xk,yk)K2=f(xk+a2h,yk+hb21K1)K3=f(xk+a3h,yk+h(b31K1+b32K2))K4=f(xk+aih,yk+h∑j=1i−1bijKj)" role="presentation">yk+1=yk+h∑i=1mciKiK1=f(xk,yk)K2=f(xk+a2h,yk+hb21K1)K3=f(xk+a3h,yk+h(b31K1+b32K2))K4=f