同余与乘法逆元

2019-04-14 16:32发布

  1. 同余:
    • 定义:设m≠0,若m∣a-b,即a-b=km,则称a与b同余,余数为m。
    • 充要条件:a、b关于模m同余的充要条件是整数a和b被同一正整数m除时,有相同的余数。(a % m)=(b % m)意味a≡b (%m)
    • 性质:
      同余定理1
      这里写图片描述
    • 同余类:根据整数模n所得的余数,可以把整数分成n个等价类:[0],[1],…,[n-1]。
      包含整数的模n等价类为: [a]n={a+kn| k∈Z}。
    • 例题:求3406写成十进位数时的个位数.
      根据题意是要求a满足3406 ≡a(mod 10)
      显然32 ≡9 ≡-1 (mod 10),
      34 ≡1 (mod 10),
      从而3404 ≡1 (mod 10),
      因此3406 ≡ 3404 × 32 ≡9(mod 10)
      所以个位数是9.
  2. 模运算的运算规则
    • (1)(a + b) % p = (a % p + b % p) % p
    • (2)(a - b) % p = (a % p - b % p) % p
    • (3)(a * b) % p = (a % p * b % p) % p
    • (4)a ^ b % p = ((a % p)^b) % p
    • 结合律:
      (5)((a+b) % p + c) % p = (a + (b+c) % p) % p
      (6)((a*b) % p * c)% p = (a * (b*c) % p) % p
    • 交换律:
      (7)(a + b) % p = (b+a) % p
      (8)(a * b) % p = (b * a) % p
    • 分配律:
      (9)(a+b) % p = ( a % p + b % p ) % p
      (10) ((a +b)% p * c) % p = ((a * c) % p + (b * c) % p) % p
    • 重要定理:
      (11)若a≡b (% p),则对于任意的c,都有(a + c) ≡ (b + c) (%p)
      (12)若a≡b (% p),则对于任意的c,都有(a * c) ≡ (b * c)
      (13) 若a≡b (% p),c≡d (% p),则 (a + c) ≡ (b + d) (%p),(a - c) ≡ (b - d) (%p),
      (a * c) ≡ (b * d) (%p),(a / c) ≡ (b / d) (%p)
  3. 乘法逆元:
    • 定义:
      满足a*k≡1 (mod p)的k值就是a关于p的乘法逆元。eg: 1=5*3-14 所以5关于模14的乘法逆元为3.
    • 应用:
      当我们要求 (a/b) mod P 的值时,如果 a 很大,无法直接求得a/b的值时,我们就可以使用乘法逆元。我们可以通过求b关于P的乘法逆元k,将a乘上k再模P,即(a%P*k)。其结果与(a/b) mod P等价。