复数是一种数域(对加、减、乘、除运算封闭）的突破，可以视为是更底层的抽象，而我们平常所能够理解的实数是其选择性表达的结果，这样这种数学工具就有更加强大的对现实的解释能力。对于特定的复杂的实函数的积分，我们可以通过升维到复数域，在这种更加底层的层次进行我们所熟悉的运算；对于微分方程也可以积分变换为一定的代数方程。三大变换，傅里叶变换、拉普拉斯变换、Z变换是我们对复杂信号的分析和处理的有力工具。而小波分析，可能是我们想要的模式识别的具体实现。 第一章　复数与复变函数 1.复数的模是不是微积分的o(ρ)，其作为ρ=(x^2+y^2)^1/2是一种高维的关系，虽然在微积分的运算中被忽略？ 复数之间的比较不能用大小，我们可否引入新的测度？ 幅角的运算与指数的运算相似、，这是i^2=-1带来的复杂变换关系从而带来一定的数学形式美。当然其根底是牢靠的，是三角公式的运算的结果。两个复数乘积的模等于它们的模相乘，两个复数乘积的辐角等于它们的辐角相加。其几何意义是将复数z1按逆时针方向旋转一个角度Argz2，再将其伸缩到|z2|倍。两个复数的商的模等于它们的模的商，两个复数的商的辐角等于被除数与除数的辐角之差。 棣模佛(De Moivre)公式就是一种推广，或者说是更一般的形式。当K为特定的值时，可以视为有n个模相等但幅角相差一个常数，均匀分布在一个圆的点。这就是一种周期性。 要理解复平面，就必须在复球面理解，这是高维理解低维？还是一种由i^2=-1带来的收敛？球面上的点，除去北极N外，都和复平面上的点之间存在一一对应的关系，而复数中有一个唯一的“无穷大”与复平面上的无穷远点相对应, 记作 ¥ 。球面上的北极 N就是复数无穷大 ¥的几何表示。其实作为一种如同微积分的无穷小量的一种奇异点，可能就是这种悖论式的描述上的其能够收敛。 2.复变函数就是实函数的扩展（函数的对应关系，一个复变函数可以表示为一对二元实变函数的组合由于在特定情况下实部和虚部可以有一定的转化，即一种相互作用），我们能够得到更普适的规律，即在实数域可能是矛盾的但在复数域是可以理解的各种定理，这是高维对底层情况的包含，能够在高维消除低维的矛盾。 基于集合论的各种定义，可以以一定的空间来表示这些集合。 严格的分析手段：对于任意确定的ε>0，总存在一个正数δ，使得对满足0<∣z-z0∣<δ的一切z，都有∣f(z)-A∣<ε,则称A为函数f(z)趋近于z0时的极限。只有ε、δ足够小，我们就有很大的理由相信这极限是绝对存在的。极限思想是一种边界。 函数的连续性，可导可微可积的基础（不严格，存在特例）；复变函数的连续性的充要条件是实部和虚部函数具有相对独立的连续性。我们的追求是有一种相互作用的函数，可能需要在虚数的基础上继续抽象出更高次的封闭运算，如五行（w=w,w^2=+/-w,w^3=-w,w^4=w^3=-w,w^5=w^2=+/-w，我们需要考虑运算的先后顺序如同矩阵乘法不满足交换律，而且还存在共同的作用，我们需要引入博弈论来解释其最后的均衡）之于阴阳（i^2=-1自反律）。 变化的极限还是极限吗？ 3邻域等等概念都是一套对所有元素的整体描述，是一种高维的概念，能够在这个层次进行各种运算。这也是一种如同极限的奇异点，能够形成如同悖论式的耦合的效果。所谓的内点、外点、边界点都是如同无穷小量的底层元素。于是就有开集闭集区域（连通开集称为区域）等等高维概念。这是一种抽象，也是一种升维。边界的概念是我们的极限，也是运算的基础。如有界集，闭曲线等等。这种连通性的存在使得我们可以考虑其拓扑性质。