什么叫二次剩余，其实就是对于给定的p(p∈P)和n，如果有x满足x2≡n(modp)，那么n在模p意义下就是二次剩余。其实就是模意义下能否开根号。 我们先定义Fp，这是一个数域，其实就是0到p−1这p个数与模p意义下加减乘除运算构成的集合。 定理1：对于x2≡n(modp)，总共有p−12个的n能使该方程有解（将n=0情况除去，由于该情况显然有x=0）。
证明：我们只用考虑所有x2。如果存在不同的两个数u、v，它们的平方在模p意义下同余，那么显然有p|(u2−v2)。由平方差公式p|(u+v)(u−v)。显然p不可能整除u−v，因此p整除u+v，因此u+v≡0(modp)。这个结论反过来也是成立的，因此共有p−12种互不相同的平方，显然对应了所有有解的n，而且同一个n还一定存在两个互为相反数的解。 Description: 求解x2≡n(modp)。p 是一个奇质数。 Solution:
由费马小定理:
             np−1≡1(modp)
所以:
             np−12≡±1(modp) 由欧拉准则:
             (np)≡np−12(modp)
其中:
             (np)为勒让德符号。 因为x≡n12(modp)，所以有xp−1≡n