有限域运算

2019-04-14 17:43发布

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　　忙了一周，总算把网络编码的Demo搞定了。
　　回想一下，大部分的时间都花在有限域的运算上了。网上找了几个运算类，没一个像样的，算出来结果也没两个是一样的，汗...主要是三个方面的问题，一是本原多项式P(x)，到现在我还是没搞懂这玩意是怎么定出来的，为什么同样是GF(2^8)，有人说P(x)=x^8+x^4+x^3+x+1，有人又说是P(x)=x^8+x^4+x^3+x^2+1，而且两种还都可以正常运算（编码后可以正确解码），搞得我相当被动，最后选择的是前者，因为看起来支持的人要多一点，再汗...二是乘法，这也够混乱的，有人按多项式展开，有人直接对普通乘法求模，还有人...实在看不懂怎么算的。好在后来从一段AES加密算法的源码里扒出个用查表法实现的乘法函数，省时又好用。三是除法，这个简直就很少有人提及了，据说除法可以分解成乘法和求逆运算，可半天也没想出怎么分解，最后终于从一篇很老的paper里找到了一点提示，总算是基本把有限域运算这个难题给了结了。
　　毕竟我不是搞数学的，有限域只不过是个工具，能用就行，不想也没时间深入研究下去了。不过还是把GF(2^8)运算中用到的几个函数贴上来吧，就当是行善积德了。
　　代码主要是正反对数表的构造和乘除法，至于加减，当然就是神奇的异或了。           public static int[] alog = new int[256];
        public static int[] log = new int[256];
    
    //构造GF(2^8)上的对数表和反对数表
    public void generateLogTable() {
        int i, j;

        alog[0] = 1;
        for (i = 1; i < 256; i++) {
            j = (alog[i-1] << 1) ^ alog[i-1];
            if ((j & 0x100) != 0)
                j ^= 0x11B;        //0x11B即本原多项式x^8+x^4+x^3+x+1
            alog[i] = j;
        }

        log[0] = log[1] = 0;
        for (i = 1; i < 255; i++)
            log[alog[i]] = i;
    }
    
    //GF(2^8)上的乘法运算，查表实现
    public int mul(int A, int B) {
        if (A == 0 || B == 0)
            return 0;
        else
            return alog[(log[A]+log[B])%255];
    }
    
    //GF(2^8)上的除法运算，查表实现
    public int div(int A, int B) {
        if (A == 0)
            return 0;
        else if (B == 0) {
            System.err.println("divide by zero exception");
            return -1;
        }
        else {
            if ((log[A]-log[B]) < 0)
                return alog[(log[A]-log[B]+255)%255];
            else
                return alog[(log[A]-log[B])%255];
        }
    }  

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