中国剩余定理

2019-04-14 18:41发布

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中国剩余定理（CRT）的表述如下   设正整数两两互素，则同余方程组                                  有整数解。并且在模下的解是唯一的，解为                                    其中，而为模的逆元。   代码： int CRT(int a[],int m[],int n) { int M = 1; int ans = 0; for(int i=1; i<=n; i++) M *= m[i]; for(int i=1; i<=n; i++) { int x, y; int Mi = M / m[i]; extend_Euclid(Mi, m[i], x, y); ans = (ans + Mi * x * a[i]) % M; } if(ans < 0) ans += M; return ans; }

题目：http://poj.org/problem?id=1006   题意：人自出生起就有体力，情感和智力三个生理周期，分别为23，28和33天。一个周期内有一天为峰值，在这一      天，人在对应的方面（体力，情感或智力）表现最好。通常这三个周期的峰值不会是同一天。现在给出三个日      期，分别对应于体力，情感，智力出现峰值的日期。然后再给出一个起始日期，要求从这一天开始，算出最少      再过多少天后三个峰值同时出现。   代码： #include #include #include using namespace std; int a[4], m[4]; void extend_Euclid(int a, int b, int &x, int &y) { if(b == 0) { x = 1; y = 0; return; } extend_Euclid(b, a % b, x, y); int tmp = x; x = y; y = tmp - (a / b) * y; } int CRT(int a[],int m[],int n) { int M = 1; int ans = 0; for(int i=1; i<=n; i++) M *= m[i]; for(int i=1; i<=n; i++) { int x, y; int Mi = M / m[i]; extend_Euclid(Mi, m[i], x, y); ans = (ans + Mi * x * a[i]) % M; } if(ans < 0) ans += M; return ans; } int main() { int p, e, i, d, t = 1; while(cin>>p>>e>>i>>d) { if(p == -1 && e == -1 && i == -1 && d == -1) break; a[1] = p; a[2] = e; a[3] = i; m[1] = 23; m[2] = 28; m[3] = 33; int ans = CRT(a, m, 3); if(ans <= d) ans += 21252; cout<<"Case "<

  普通的中国剩余定理要求所有的互素，那么如果不互素呢，怎么求解同余方程组？   这种情况就采用两两合并的思想，假设要合并如下两个方程           那么得到            在利用扩展欧几里得算法解出的最小正整数解，再带入            得到后合并为一个方程的结果为             这样一直合并下去，最终可以求得同余方程组的解。   题目：http://poj.org/problem?id=2891   代码： #include #include #include using namespace std; typedef long long LL; const int N = 1005; LL a[N], m[N]; LL gcd(LL a,LL b) { return b? gcd(b, a % b) : a; } void extend_Euclid(LL a, LL b, LL &x, LL &y) { if(b == 0) { x = 1; y = 0; return; } extend_Euclid(b, a % b, x, y); LL tmp = x; x = y; y = tmp - (a / b) * y; } LL Inv(LL a, LL b) { LL d = gcd(a, b); if(d != 1) return -1; LL x, y; extend_Euclid(a, b, x, y); return (x % b + b) % b; } bool merge(LL a1, LL m1, LL a2, LL m2, LL &a3, LL &m3) { LL d = gcd(m1, m2); LL c = a2 - a1; if(c % d) return false; c = (c % m2 + m2) % m2; m1 /= d; m2 /= d; c /= d; c *= Inv(m1, m2); c %= m2; c *= m1 * d; c += a1; m3 = m1 * m2 * d; a3 = (c % m3 + m3) % m3; return true; } LL CRT(LL a[], LL m[], int n) { LL a1 = a[1]; LL m1 = m[1]; for(int i=2; i<=n; i++) { LL a2 = a[i]; LL m2 = m[i]; LL m3, a3; if(!merge(a1, m1, a2, m2, a3, m3)) return -1; a1 = a3; m1 = m3; } return (a1 % m1 + m1) % m1; } int main() { int n; while(scanf("%d",&n)!=EOF) { for(int i=1; i<=n; i++) scanf("%I64d%I64d",&m[i], &a[i]); LL ans = CRT(a, m, n); printf("%I64d ",ans); } return 0; }

  题目：http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1573   分析：这个题由于数据范围小，那么直接可以通过枚举在这个数的最小公倍数范围内的所有数，找到最小的正整      数解，然后后面的所有解都可以通过这个得到。   代码： #include #include #include using namespace std; const int N = 25; int a[N], b[N]; int gcd(int a, int b) { return b ? gcd(b, a % b) : a; } int main() { int T; cin>>T; while(T--) { int n, m; cin>>n>>m; for(int i=0; i>a[i]; for(int i=0; i>b[i]; int lcm = 1; for(int i=0; i

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