1.质数(素数)

  质数又称素数。一个大于1的自然数，除了1和它自身外，不能整除其他自然数的数叫做质数；否则称为合数。

2.模反元素

RSA的公钥和私钥的重要部分是模反元素的关系。         如果两个正整数a和n互质，那么一定可以找到整数b，使得 ab-1 被n整除，或者说ab被n除的余数是1。这时，b就叫做a的“模反元素”。        如果两个正整数a和n互质，那么一定可以找到整数b，使得 ab-1 被n整除，或者说ab被n除的余数是1。 这时，b就叫做a对模数n的“模反元素”。比如，3和11互质，那么3的模反元素就是4，因为 (3 × 4)-1 可以被11整除。显然，模反元素不止一个， 4加减11的整数倍都是3的模反元素 {…,-18,-7,4,15,26,…}，即如果b是a的模反元素，则 b+kn 都是a的模反元素。 欧拉定理可以用来证明模反元素必然存在。 1. 什么是RSA RSA算法是现今使用最广泛的公钥密码算法，也是号称地球上最安全的加密算法。在了解RSA算法之前，先熟悉下几个术语 
根据密钥的使用方法，可以将密码分为对称密码和公钥密码 
对称密码：加密和解密使用同一种密钥的方式 
公钥密码：加密和解密使用不同的密码的方式，因此公钥密码通常也称为非对称密码。 2. RSA加密 RSA的加密过程可以使用一个通式来表达 密文＝明文EmodN 也就是说RSA加密是对明文的E次方后除以N后求余数的过程。就这么简单？对，就是这么简单。 
从通式可知，只要知道E和N任何人都可以进行RSA加密了，所以说E、N是RSA加密的密钥，也就是说E和N的组合就是公钥，我们用(E,N)来表示公钥 公钥＝(E,N) 不过E和N不并不是随便什么数都可以的，它们都是经过严格的数学计算得出的，关于E和N拥有什么样的要求及其特性后面会讲到。顺便啰嗦一句E是加密（Encryption）的首字母，N是数字（Number）的首字母 3. RSA解密 RSA的解密同样可以使用一个通式来表达 明文＝密文DmodN 也就是说对密文进行D次方后除以N的余数就是明文，这就是RSA解密过程。知道D和N就能进行解密密文了，所以D和N的组合就是私钥 私钥＝(D,N) 从上述可以看出RSA的加密方式和解密方式是相同的，加密是求“E次方的mod N”;解密是求“D次方的mod N” 
此处D是解密（Decryption）的首字母；N是数字（Number）的首字母。 小结下 公钥    （E，N）
私钥    （D，N）
密钥对    （E，D，N）
加密    
密文＝明文EmodN
解密    
明文＝密文DmodN
4. 生成密钥对 既然公钥是（E，N），私钥是（D，N）所以密钥对即为（E，D，N）但密钥对是怎样生成的？步骤如下： 求N
求L（L为中间过程的中间数）
求E
求D
4.1 求N 准备两个质数p，q。这两个数不能太小，太小则会容易破解，将p乘以q就是N N=p∗q 4.2 求L L 是 p－1 和 q－1的最小公倍数，可用如下表达式表示 L=lcm（p－1，q－1） 4.3 求E E必须满足两个条件：E是一个比1大比L小的数，E和L的最大公约数为1 
用gcd(X,Y)来表示X，Y的最大公约数则E条件如下： 1 < E < L gcd（E，L）=1 之所以需要E和L的最大公约数为1是为了保证一定存在解密时需要使用的数D。现在我们已经求出了E和N也就是说我们已经生成了密钥对中的公钥了。 4.4 求D 数D是由数E计算出来的。D、E和L之间必须满足以下关系： 1 < D < L E＊D mod L ＝ 1 只要D满足上述2个条件，则通过E和N进行加密的密文就可以用D和N进行解密。 
简单地说条件2是为了保证密文解密后的数据就是明文。 
现在私钥自然也已经生成了，密钥对也就自然生成了。 
小结下： 求N    N＝ p ＊ q ；p，q为质数
求L    L＝lcm（p－1，q－1） ；L为p－1、q－1的最小公倍数
求E    1 < E < L，gcd（E，L）=1；E，L最大公约数为1（E和L互质）
求D    1 < D < L，E＊D mod L ＝ 1
5 实践下吧 我们用具体的数字来实践下RSA的密钥对对生成，及其加解密对全过程。为方便我们使用较小数字来模拟。 5.1 求N 我们准备两个很小对质数， 
p ＝ 17 
q ＝ 19 
N ＝ p ＊ q ＝ 323 5.2 求L L ＝ lcm（p－1， q－1）＝ lcm(16，18） ＝ 144 
144为16和18对最小公倍数 5.3 求E 求E必须要满足2个条件：1 < E < L ，gcd（E，L）=1 
即1 < E < 144，gcd（E，144） ＝ 1 
E和144互为质数，5显然满足上述2个条件 
故E ＝ 5 此时公钥=(E，N）＝ （5，323） 5.4 求D 求D也必须满足2个条件：1 < D < L，E＊D mod L ＝ 1 
即1 < D < 144，5 ＊ D mod 144 ＝ 1 
显然当D＝ 29 时满足上述两个条件 
1 < 29 < 144 
5＊29 mod 144 ＝ 145 mod 144 ＝ 1 
此时私钥＝（D，N）＝（29，323） 5.5 加密 准备的明文必须时小于N的数，因为加密或者解密都要mod N其结果必须小于N 
假设明文 ＝ 123 
则 密文＝明文EmodN＝1235mod323=225 5.6 解密 明文＝密文DmodN＝22529mod323=123
 
解密后的明文为123。 参考链接http://www.cnblogs.com/jiftle/p/7903762.html