题目描述： 时间限制:10000ms 单点时限:1000ms 内存限制:256MB

描述

给定一个数 x，设它十进制展从高位到低位上的数位依次是 a0, a1, ..., an - 1，定义交错和函数： f(x) = a0 - a1 + a2 - ... + ( - 1)n - 1an - 1
例如： f(3214567) = 3 - 2 + 1 - 4 + 5 - 6 + 7 = 4
给定 

输入

输入数据仅一行包含三个整数，l, r, k(0 ≤ l ≤ r ≤ 1018, |k| ≤ 100)。

输出

输出一行一个整数表示结果，考虑到答案可能很大，输出结果模 109 + 7。

提示

对于样例 ，满足条件的数有 110 和 121，所以结果是 231 = 110 + 121。 更多样例： Input 4344 3214567 3
Output 611668829
Input 404491953 1587197241 1
Output 323937411
Input 60296763086567224 193422344885593844 10
Output 608746132 Input 100 121 -1
Output 120

样例输入 100 121 0 样例输出 231 解题思路： 这道题确实花了我好几天的时间来做。。首先，根据题目的意思，我尝试列举几个样例来得到一般规律，但处处因为各种原因（比如说当在某一位发生进位时。。），导致分析过程异常复杂，而且情况也多种多样，最后不得已，只好放弃找规律这条路。理所当然地，一般规律找不到，就只有暴力来解决，下面是代码：
#include #include #include using namespace std; int MOD = 1e9+7; /*int cross_sum(long long t){ int res = 0; strstream ss; ss << t; string num; ss >> num; int flag = 1; for(int i = 0; i < num.size(); i++){ res += flag * (num[i] - '0'); flag = -flag; } return res; }*/ int cross_sum(long long t){ int res = 0, flag = 1; while(t > 0){ res += flag * (t % 10); t = t/10; flag = -flag; } if(flag > 0) res = -res; return res; } int main(){ //freopen("t.txt", "r", stdin); long long left, right; int k; scanf("%lld%lld%d", &left, &right, &k); long long res = 0, base = left; for(; base <= right; base++){ if(cross_sum(base) == k){ res = (res + base) % MOD; } } printf("%lld ", res); return 0; }
当然了，这个代码是超时的，当它在我后面的调试中起到很重要的作用！（输出结果，用excel来处理，看看与自己代码输出是否一致） 现在来仔细分析这个代码的复杂度，可以粗略地认为它的时间复杂度为O(n)，n为输入的值，可以看到n可以达到10^20的数量级，这确实是很难被接受的，不得已，在网上搜了下，发现这道题是用数位dp来做的，由于之前没怎么接触过，所以就找了道题做了下，做完之后，再来看这道题，就基本有思路了，所以就尝试开始做，这里我采用的是非递归方法，所以会比递归的dfs来做看起来会复杂点，这在之前已经讨论过了，基本思路如下： dpSum[i][j]  表示长度为i，交错和为j的数的和（注意，这里的数可以以0开头，否则就会少算一些值，例如当确定了最高位是1后，其余i-1位可以以0开头） dpCnt[i][j]  表示长度为i， 交错和是j的数的个数 由于交错和可以是负数，所以为其加上100，保证其为正数，状态转移方程为：（在程序中要注意溢出问题，这里为了便于理解，就省去了取模操作） dpSum[i][j] += dpSum[i-1][200-(j-k)] + k * sz[i] * dpCnt[i-1][200-(j-k)]  其中k取0到9，表示第i位可能的取值，200-（j-k）表示当前的交错和减去第i位的值再取反，sz[n]表示位数为n的最小的数（这里将其作为基底），即当n为2时，sz[n]为10， dpCnt[i][j] += dpCnt[i][200-(j-k)]; 初始状态是：dpCnt[0][0] = 1（这一点很重要），然后将长度为1的值都初始化就可以了。 求完dp数组后，就可以求具体的值了，这里用了个cal函数long long cal(long long n, int target) 表示求0到n-1的交错和为k的数的和： 首先先求出位数少于n的位数的结果， 然后求位数等于n的位数的数的和： res += dpSum[i-1][200-(target-k)] + (n-n%sz[i+1]+k*sz[i])  * dpCnt[i-1][200-(target-k)] ;
其中 (n-n%sz[i+1]+k*sz[i]) 求出的是该数的比i高的位，和以k作为第i位的数，例如1234567，i = 5，k = 2则这里表示1220000。 整体代码如下， #include #include #include using namespace std; const int N = 22, MAX = 209, MOD = 1e9+7; long long dpSum[N][MAX], dpCnt[N][MAX], sz[N] = {0,1}; void init(){ memset(dpSum, 0, sizeof(dpSum)); memset(dpCnt, 0, sizeof(dpCnt)); for(int i = 2; i < N; i++){ sz[i] = sz[i-1] * 10; } dpCnt[0][100] = 1; for(int i = 0; i <= 9; i++){ dpSum[1][100+i] = i; dpCnt[1][100+i] = 1; } for(int i = 2; i < N; i++){ for(int j = 0; j <= 200; j++){ for(int k = 0; k <= 9; k++){ dpSum[i][j] += (dpSum[i-1][200-(j - k)] + k * sz[i] % MOD * dpCnt[i-1][200-(j - k)])%MOD; dpSum[i][j] %= MOD; dpCnt[i][j] += dpCnt[i-1][200-(j - k)]; dpCnt[i][j] %= MOD; } } } } long long cal(long long n, int target){ if(n == -1) return 0; int numArray[N], len = 0; long long tmp = n; while(tmp){ numArray[++len] = tmp % 10; tmp /= 10; } long long res = 0; //先求出满足条件的位数小于n的数字的和 for(int i = 1; i < len; i++){ for(int k = 1; k <= 9; k++){ res += ( dpSum[i-1][200-(target-k)] + k * sz[i] % MOD * dpCnt[i-1][200-(target-k)] % MOD ) % MOD; res %= MOD; } } //求位数等于n的位数的满足条件的数字和 for(int i = len; i > 0; i--){ int k = (i == len); for(; k < numArray[i];k++){ res += (dpSum[i-1][200-(target-k)] + (n-n%sz[i+1]+k*sz[i]) % MOD * dpCnt[i-1][200-(target-k)] % MOD ) % MOD; res %= MOD; } target = 200 - (target - numArray[i]); } return res; } int main(){ //freopen("t.txt", "r", stdin); init(); long long left, right; int k; scanf("%lld%lld%d", &left, &right, &k); long long res = cal(right+1, k+100) - cal(left, k+100); if(res < 0) res += MOD; res %= MOD; printf("%lld ", res); return 0; }

当然，这道题也可以用递归来做： 其中，主要注意dp[i][j]保存的是不考虑上下界，且可以以0开头的i位数，其交错和是j的数的和与个数； node dfs(int pos, int target, int hasCeiling, int len)返回的是在长度为len，从0到pos位，交错和为target的数的和与个数
#include #include #include using namespace std; const int N = 22, MAX = 209, MOD = 1e9+7; long long base[N] = {0,1}; int numArray[N]; struct node{ long long sum, cnt; node():sum(-1), cnt(-1){} }; node dp[N][MAX]; node dfs(int pos, int target, int hasCeiling, int len){ node res; res.sum = res.cnt = 0; if(pos == 0){ if(target == 100) res.cnt = 1; return res; } //注意dp中保存的是没有上下限限制，且开头可以为0的数 if(!hasCeiling && len != pos && dp[pos][target].cnt != -1) return dp[pos][target]; int head = (len == pos); int tail = hasCeiling ? numArray[pos] : 9; for(int i = head; i <= tail; i++){ node tmp = dfs(pos-1, 200-(target-i), hasCeiling && i==numArray[pos], len); if(tmp.cnt > 0){ res.cnt += tmp.cnt; res.cnt %= MOD; res.sum += tmp.sum; res.sum %= MOD; res.sum += (tmp.cnt * i * base[pos]) % MOD; res.sum %= MOD; } } if(!hasCeiling && len != pos){ dp[pos][target] = res; } return res; } long long cal(long long n, int k){ if(n == -1) return 0; int len = 0; while(n){ numArray[++len] = n % 10; n /= 10; } long long ans = 0; node tmp; for(int i = 1; i <= len; i++){ tmp = dfs(i, k, i == len, i); ans += tmp.sum; ans %= MOD; } return ans; } int main(){ //freopen("t.txt", "r", stdin); for(int i = 2; i < N; i++) base[i] = base[i-1] * 10 % MOD; long long left, right; int k; scanf("%lld%lld%d", &left, &right, &k); /* cout << cal(right, k+100) << endl; cout << cal(left-1, k+100) << endl; */ printf("%lld ", (cal(right, k+100) - cal(left-1, k+100) + MOD) % MOD ); return 0; }