引言

1962年，Hubel&Wiesel[1]研究猫的视觉神经时，意外发现，当给猫展示一张鱼或老鼠的照片的时候，猫的大脑并没有哪一块是有信号响应，而当照片在切换的时候，猫的神经则发现了对信号的响应。两人继续研究，提出了感受野的概念，并进一步发现了视觉皮层通路中对于信息的分层处理机制，由此获得了诺贝尔生理学或医学奖。视觉皮层的细胞可以基本分为简单细胞（Simple cell）和复杂细胞（Complex cell）。这些细胞对视觉输入空间的子区域非常敏感，我们称之为感受野，以这种方式平铺覆盖到整个视野区域。
受到神经生物学的启发，便设计实现了卷积神经网络（Convolutional Neural Network）。

简述

CNN本质上是一种多层感知机（MLP），但其具有以下三大特性
- 局部感受野
- 权值共享
- 空间子采样
正是因为这些特性，降低了网络复杂度，降低了过拟合的风险，使得网络更易调优。

局部感受野（Local Receptive Fields）

图像在空间上是有组织结构的，相距太远的像素在空间联系上并不是很密切。每一个神经元对应一个感受野，只要感知一个区域内的像素信息即可。
假设以下图片像素为1000 * 1000，并且是黑白图像，只有一个颜 {MOD}通道，那么输入图片的维度则为1000 * 1000 = 10^6 维，如果连接一个相同大小的隐藏层，用左图全连接的方式，那么就有100万个隐含神经元。则连接数为10^12 个，参数个数则有10^12 + 10^6 个，仅一个隐含层就拥有如此多的权重，已经远远超出了硬件的运算能力。
若用右图局部连接的方式，假设感受野大小为10 * 10，每个隐含神经元就只有10 * 10 = 100个连接，所有只需要10 * 10 * 10^6 = 10^8 个连接，相比之前就缩小了10000倍。

权值共享（Weight Sharing）

现在，每一个节点都有100个参数，假设局部连接的方式是卷积操作，则每个神经元对应的参数都是相同的，即100万个神经元有共同的参数，则又大大降低了参数量。
卷积操作其实是对输入图像特征提取的方式，该方式与位置无关。这其中隐含的原理则是：图像的一部分的统计特性与其他部分是一样的。这也意味着我们在这一部分学习的特征也能用在另一部分上，所以对于这个图像上的所有位置，我们都能使用同样的学习特征。

图像的基本特征是点和边，人对于物体的识别，也是在从点边的特征中不断抽象完成的。第一层的神经元从像素特征提取到点边信息输入下一层，第二层则从点边中识别出三角形圆形等信息，再继续抽象，得到气球，风筝等现实物体的匹配。所以，只要卷积类型足够多，提取出我们所需要的各个方向的边或各种形态的点，就可以逐步抽象出高层特征。利用卷积神经网络自动提取特征，能更好的利用图片的像素信息，比人工构造的特征更优。

空间子采样（Pooling）

在通过卷积获得了特征 (features) 之后，下一步我们希望利用这些特征。理论上讲，人们可以用所有提取得到的特征，但无疑复杂度还是比较大，并且容易出现过拟合。如何保留卷积之后有效的特征呢？可以利用下采样的方式，来降低特征维度，保留有效信息，防止过拟合。
根据采样的方式不同，一般有最大池化、平均池化等方式

总结

局部连接和权值共享降低了参数量，使训练复杂度大大下降，并减轻了过拟合。Pooling操作降低了输出参数量，提高了模型的泛化能力。相比于传统的机器学习算法，无须手动提取特征，可在训练中自动完成特征的提取和抽象，并同时进行模式分类，大大降低了图像识别的应用难度。相比于一般的神经网络，CNN的卷积连接方式和人的视觉神经处理信号的模式相似，和图片的空间结构更为贴近。

实验

建立含有一层卷积的神经网络，训练测试Mnist数据集。