[组合数]求组合数的几种方法总结

2019-04-14 19:33发布

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求C(n,m)%mod的方法总结 1.当n,m都很小的时候可以利用杨辉三角直接求。 
C(n,m)=C(n-1,m)+C(n-1,m-1)； 2.利用乘法逆元。 
乘法逆元：(a/b)%mod=a*(b^(mod-2)) mod为素数。 
逆元可以利用扩展欧几里德或欧拉函数求得： 1).扩展欧几里德：b*x+p*y=1 有解，x就是所求 2).费马小定理：b^(p-1)=1(mod p),故b*b^(p-2)=1(mod p),所以x=b^(p-2)( (1) n!/(m!*(n-m)! =x%p ,先对算出n！、m！、(n-m)!对p取模的余数，就转换为a/b=x%p;因为p为素数，所以等价于bx+py=a;然后用扩展的欧几里得定理算出 bx’+py’=1的解，x=x’*a，就得到了最终的x的值，即C(m,n)%p得值。 (2).逆元 其实如果mod是素数 则b的逆元其实就是b^(mod-2) 
也就是 (m!(n-m)!)的逆元为 (m!(n-m)!)p-2 ； int inv(int a) { //return fpow(a, MOD-2, MOD); return a == 1 ? 1 : (long long)(MOD - MOD / a) * inv(MOD % a) % MOD; } LL C(LL n,LL m) { if(m < 0)return 0; if(n < m)return 0; if(m > n-m) m = n-m; LL up = 1, down = 1; for(LL i = 0 ; i < m ; i ++){ up = up * (n-i) % MOD; down = down * (i+1) % MOD; } return up * inv(down) % MOD; }
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3.当n和m比较大，mod是素数且比较小的时候（10^5左右），通过Lucas定理计算 Lucas定理：A、B是非负整数，p是质数。A B写成p进制：A=a[n]a[n-1]…a[0]，B=b[n]b[n-1]…b[0]。 
则组合数C(A,B)与C(a[n],b[n])C(a[n-1],b[n-1])…*C(a[0],b[0]) mod p同余 
即：Lucas(n,m,p)=C(n%p,m%p)*Lucas(n/p,m/p,p) #include //#include using namespace std; typedef long long ll; int quick_power_mod(int a,int b,int m){//pow(a,b)%m int result = 1; int base = a; while(b>0){ if(b & 1==1){ result = (result*base) % m; } base = (base*base) %m; b>>=1; } return result; } //计算组合数取模 ll comp(ll a, ll b, int p) {//composite num C(a,b)%p if(a < b) return 0; if(a == b) return 1; if(b > a - b) b = a - b; int ans = 1, ca = 1, cb = 1; for(ll i = 0; i < b; ++i) { ca = (ca * (a - i))%p; cb = (cb * (b - i))%p; } ans = (ca*quick_power_mod(cb, p - 2, p)) % p; return ans; } ll lucas(ll n, ll m, ll p) { ll ans = 1; while(n&&m&&ans) { ans = (ans*comp(n%p, m%p, p)) % p;//also can be recusive n /= p; m /= p; } return ans; } int main(){ ll m,n; while(cin>>n>>m){ cout<10007)<return 0; }
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C(n % mod, m % mod) % mod; 如果太大还是利用上面的逆元来处理。 半预处理 
由于Lucas定理保证了阶乘的数均小于p，所以可以讲所有的阶乘先预处理，优化C（n,m） 
mod的要求：p<10^6，且为素数 
有效范围：1<=n,m<=10^9 //半预处理 const ll MAXN = 100000; ll fac[MAXN+100]; void init(int mod) { fac[0] = 1; for (int i=1; i<mod; i++){ fac[i] = fac[i-1] * i % mod; } } //半预处理逆元求C（n，m）%mod ll C(ll n, ll m) { if ( m>n ) return 0; return fac[n] * (GetInverse(fac[m]*fac[n-m], mod)) % mod; }
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4.还有一种就是分解质因子，这个比较麻烦。 
http://www.mamicode.com/info-detail-621758.html

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