hdu 2815 Mod Tree 模方程a^x=b(mod n)，n为任意正整数+模板题（扩展Ba

2019-04-14 20:04发布

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//hdu 2815 Mod Tree #include #include #include #include #include #include using namespace std; #define LL __int64 LL gcd(LL a,LL b) { return b==0?a:gcd(b,a%b); } //拓展欧几里得定理，求ax+by=gcd(a,b)的一组解(x,y),d=gcd(a,b) void gcd_mod(LL a,LL b,LL &d,LL &x,LL &y) { if(!b){d=a;x=1;y=0;} else{gcd_mod(b,a%b,d,y,x);y-=x*(a/b);} } //求解模方程d*a^(x-c)=b(mod n)。d,a和n互质，无解返回-1 LL log_mod (LL a,LL b,LL n,LL c,LL d) { LL m,v,e=1,i,x,y,dd; m=ceil(sqrt(n+0.5)); //x=i*m+j mapf; f[1]=m; for(i=1;i(d*x)%n=1-->d*(x*b)%n==b x=(x*b%n+n)%n; if(f[x]) { LL num=f[x]; f.clear();//需要清空，不然会爆内存 return c+i*m+(num==m?0:num); } d=(d*e)%n; } return -1; } int main() { LL a,b,n; while(scanf("%I64d%I64d%I64d",&a,&n,&b)!=EOF) { if(b>=n) { printf("Orz,I can’t find D! "); continue; } if(b==0) { printf("0 "); continue; } LL ans=0,c=0,d=1,t; while((t=gcd(a,n))!=1) { if(b%t){ans=-1;break;} c++; n=n/t; b=b/t; d=d*a/t%n; if(d==b){ans=c;break;}//特判下是否成立。 } if(ans!=0) { if(ans==-1){printf("Orz,I can’t find D! ");} else printf("%I64d ",ans); } else { ans=log_mod(a,b,n,c,d); if(ans==-1)printf("Orz,I can’t find D! "); else printf("%I64d ",ans); } } return 0; } /* 求解模方程a^x=b(mod n)，n不为素数。拓展Baby Step Giant Step 模板题。 方法： 初始d=1,c=0,i=0; 1.令g=gcd(a,n),若g==1则执行下一步。否则由于a^x=k*n+b;(k为某一整数),则(a/g)*a^k=k*(n/g)+b/g,(b/g为整除，若不成立则无解) 令n=n/g，d=d*a/g，b=b/g,c++则d*a^(x-c)=b(mod n),接着重复1步骤。 2.通过1步骤后，保证了a和d都与n互质，方程转换为d*a^(x-c)=b(mod n)。由于a和n互质，所以由欧拉定理a^phi(n)==1(mod n),(a,n互质) 可知，phi(n)<=n,a^0==1(mod n),所以构成循环，且循环节不大于n。从而推出如果存在解，则必定1<=x=n。用哈希表存储a^0,a^1,..,a^(m-1)，接着判断1~m*m-1中是否存在解。 4.为了减少时间，所以用哈希表缩减复杂度。分成m次遍历，每次遍历a^m长度。由于a和d都与n互质，所以gcd(d,n)=1， 所以用拓展的欧几里德定理求得d*x+n*y=gcd(d,n)=1,的一组整数解(x,y)。则d*x+n*y=1-->d*x%n=(d*x+n*y)%n=1-->d*(x*b)%n=((d*x)%n*b%n)%n=b。 所以若x*b在哈希表中存在，值为k，则a^k*d=b(mod n),答案就是ans=k+c+i*m。如果不存在，则令d=d*a^m,i++后遍历下一个a^m，直到遍历a^0到a^(m-1)还未找到，则说明不解并退出。 */

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